求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 18:41:50
求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc
求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc<1/2

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc
由a,b,c为三角形三边,有a+b-c > 0,b+c-a > 0,c+a-b > 0.
相乘得(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0,展开得a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca² > a³+b³+c³+2abc ①.
于是由a+b+c = 1,有2(a²+b²+c²+4abc) = 2(a²+b²+c²)(a+b+c)+8abc
= 2(a³+b³+c³)+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+8abc
= a³+b³+c³+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc+(a³+b³+c³+2abc)
< a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc (由①)
= (a+b+c)³
= 1,
即a²+b²+c²+4abc < 1/2.
不等式①在证明某些以构成三角形三边为条件的不等式时很好用.
因为在a,b,c > 0的前提下,①是a,b,c构成三角形三边的充要条件.
上述证明的思路就是用a+b+c = 1的条件将不等式化为齐次不等式,然后用①证明之.

简单,你只要知道隐藏条件a+b大于c就好做了

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc 三角形ABC三边长分别为abc且m>0.求证:a/a+m +b/b+m >c/c+m. 设a、b、c为三角形ABC的三边长,且满足a³+b³+c³=3abc,求证三角形ABC是正三角形. 已知a、b、c是三角形的三边长,且a²-c²+ab-bc=0,求证:三角形abc为等腰三角形 a b c为三角形ABC的三边长,求证(b-a-c)(b-a+c)小于等于零.快.要 如图,已知三角形ABC相似于三角形A1B1C1,相似比是K(K>1),且三角形ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),三角形A1B1C1的三边长为a1,b1.c1.1.若c=a1,求证:a=kc 2.若c=a1,试给出一个符合条件的一对三角形ABC和三 三角形三边长为a,b,c,且根号a-2+b-3的绝对值=0,若c为偶数,试求△ABC三边长 若a、b、c为三角形三边长,且a、b、c满足(a-c)²+(a-c)b=0则三角形ABC为()三角形 以知三角形ABC三边长a b c 且m为正数 求证a/a+m + b/b+m〉c/c+m 三角形ABC的三边长分别为a,b,c,求证:a^2+b^2+c^2 已知:a.b.c为三角形abc的三条边长,求证:a方-b方-c方-2bc a,b,c为三角形ABC的 三边长,且(a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,a+b+c=24求各边长 已知三角形ABC的三边长为a,b是方程x方-(c+4)x+4c+8=0的两根 求证1 三角形为直角三角形若a=b、求三角形三边长 若a,b,c为三角形ABC的三边长,且(a-b)b+a(b-a)=a(c-a)+b(a-c),则三角形按边分类,应是什么三角形? 已知a,b,c分别为一个三角形的三边长,求证:c/(a+b) + a/(b+c) + b/(c+a) 已知三角形三边长为abc,且[a+b-c]+[a-b-c]=10求b的值. 已知a,b,c为正整数,且a>b>c,若a的最大值为6,是否存在以a,b,c为三边长的三角形?若存在,分别写出这些三角形的边长,若不存在,说明理由. 1.三角形ABC三边长a,b,c均为正整数a,b,且a