作业帮一支扇形的周长为20厘米,问扇形圆心角为何值时,扇形面积最大?最大值是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:50:32
一支扇形的周长为20厘米,问扇形圆心角为何值时,扇形面积最大?最大值是多少?
一支扇形的周长为20厘米,问扇形圆心角为何值时,扇形面积最大?最大值是多少?
一支扇形的周长为20厘米,问扇形圆心角为何值时,扇形面积最大?最大值是多少?
设圆心角是x,半径是r
扇形周长=xr+2r=20
x=(20-2r)/r
扇形面积=xr^2/2=(20-2r)*r^2/2r=10r-r^2
是一个二次函数
当r=10/2=5时,扇形面积最大,S=10*5-5^2=25平方厘米
此时圆心角=(20-10)/5=2
设扇形的半径为R，圆心角为a，
为了便于计算，设A=aπ/360，则可列方程为：
扇形周长：2AR+2R=20，R=10/（A+1）；
扇形面积：AR^2=A*〔10/(A+1)〕^2，
可知当A=1时，扇形面积最大，为25（平方厘米）；
则aπ/360=1，得出圆心角a=360/π。
假定扇形的圆心角为A（单位：度）,半径为 R ，则有：
面积 S = πR^2*(A/360)
周长 L = πR*(A/180) + 2R
L = πR*(A/180) + 2R =20
πR*(A/180)=20-2R
(A/180)=(20-2R)/πR
S = πR^2*(A/360)=πR^2*(1/2)*(A/180)
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假定扇形的圆心角为A（单位：度）,半径为 R ，则有：
面积 S = πR^2*(A/360)
周长 L = πR*(A/180) + 2R
L = πR*(A/180) + 2R =20
πR*(A/180)=20-2R
(A/180)=(20-2R)/πR
S = πR^2*(A/360)=πR^2*(1/2)*(A/180)
=πR^2*(1/2)*(20-2R)/πR
=-R^2+10R
=-(R-5)^2+25
当R＝5时面积最大为25。
圆心角A＝360/π
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