作业帮已知数列{an}为等差数列,d为公差,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q.求证：（1）am+an=ap+aq；（2）an=am+(n-m)d.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:53:09
已知数列{an}为等差数列,d为公差,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q.求证：（1）am+an=ap+aq；（2）an=am+(n-m)d.
已知数列{an}为等差数列,d为公差,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q.
求证：（1）am+an=ap+aq；（2）an=am+(n-m)d.
已知数列{an}为等差数列,d为公差,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q.求证：（1）am+an=ap+aq；（2）an=am+(n-m)d.
证明：由等差数列的性质,有
am＝a1＋(m－1)d.
an＝a1＋(n－1)d.
两式相加得
am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d.①
ap＝a1＋(p－1)d.
aq＝a1＋(q－1)d.
两式相加得
ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d.②
又因为m＋n＝p＋q
所以m＋n＋2＝p＋q＋2
因此①＝②,即
am＋an＝ap＋aq.
⑵an＝a1＋(n－1)d
am＝a1＋(m－1)d
两式相减得
an－am＝(n－m)d.
移项得
an＝am＋(n－m)d.
原式得证!
（1）令a1为{an}的首项，则有
{an}的通项公式 an = a1 + (n-1)d
am + an = a1 + (m-1)d + a1 + (n-1)d = 2a1 + (m+n) -2d
ap + aq = a1 + (p-1)d + a1 + (q-1)d = 2a1 + (p+q) -2d
由于m+n=p+q，所以 2a1 + (m+n) -2d = ...
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（1）令a1为{an}的首项，则有
{an}的通项公式 an = a1 + (n-1)d
am + an = a1 + (m-1)d + a1 + (n-1)d = 2a1 + (m+n) -2d
ap + aq = a1 + (p-1)d + a1 + (q-1)d = 2a1 + (p+q) -2d
由于m+n=p+q，所以 2a1 + (m+n) -2d = 2a1 + (p+q) -2d
即 am+an=ap+aq
（2）an - am = a1 + (n-1)d - a1 - (m-1)d = (n-m)d
所以 an = am + (n-m)d
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