数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题:(图一）问题思考 (1)经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图1,过B作交CD的延长线于点E,请根据这位同学的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 23:45:12

数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题:(图一）问题思考 (1)经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图1,过B作交CD的延长线于点E,请根据这位同学的
数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题:(图一）问题思考 (1)经过独立思考,同学们想出

了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图1,过B作交CD的延长线于点E,请根据这位同学的思路提示证明上述框中问题.

方法迁移
(2)如图2,在Rt中, ,点D为AB中点,点E是线段AC上一动点, 连接DE, 线段DF始终与DE垂直且交BC于点F.猜想线段AE、EF、BF的数量关系并加以证明.
拓展延伸
(3)如图3,在Rt中, ,点D为AB中点,点E是线段AC延长线上一动点, 连接DE,线段 DF始终与DE垂直且交CB的延长线于点F,试问第 (2)中线段AE、EF、FB的数量关系会发生改变吗?若会, 请说明理由；若不会,请证明之.

图一

数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题:(图一）问题思考 (1)经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图1,过B作交CD的延长线于点E,请根据这位同学的
(1)证明：∵在⊿ABC中,∠C=90°,D是斜边AB中点
过B作BE//AC交CD延长线于E
∴∠CAB=∠ABE, ∠ACE=∠BEC==>⊿ADC∽⊿BDE==>D为CE中点
∵∠CAB+∠CBA=90°==>∠ABE+∠CBA=90°
∴⊿ABC≌⊿ECB==>AB=CE
∴CD=1/2AB

(2)证明：过B作BG//AC交ED延长线于G,连接GF.
∴∠EAD=∠GBD,又∠EDA=∠GDB,AD=DB
∴ΔAED≌ΔBDG==>AE=BG,DE=DG
又∵DF⊥DE,∴DF是EG中垂线,EF=GF
∵∠C=90º==>∠GBF=90º,∴BF^2+BG^2=GF^2；
∴AE^2+BF^2=EF^2

(3)线段AE、EF、FB的数量关系不会发生改变
证明：延长ED到G使EF=FG
∵DF⊥EG==>ED=DG
连接BG
∴⊿ADE≌⊿BDG==>AE=BG,∠DBG=∠DAE
∠DAE+∠CBA=90°==>∠DBG+∠CBA=90°
∴CF^2=BG^2+BF^2
AE^2+BF^2=EF^2