作业帮证明f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 03:55:26
证明f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
证明f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
证明f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
用定义法：
令1≤x1＜x2
f(x2)-f(x1) = (x2² + 1/x2) - (x1² + 1/x1)
= (x2²- x1²) - ( 1/x1 - 1/x2)
= (x2+x1)(x2-x1) - (x2-x1)/(x1x2)
= (x2-x1){x2+x1-1/(x1x2)}
∵1≤x1＜x2
∴(x2-x1)＞0
∵1≤x1＜x2
∴(x1x2)＞1
∴1/(x1x2)}＜1
又：x2+x1＞1
∴{x2+x1-1/(x1x2)}＞0
∵(x2-x1)＞0,并且{x2+x1-1/(x1x2)}＞0
∴ (x2-x1){x2+x1-1/(x1x2)}＞0
∴f(x2)＞f(x1）,得证
f`(x)=2x-1/(x^2)
1=
1/(x^2)<=1
f`(x)=2x-1/(x^2)>=1>0
所以f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
解由f(x)=x2+1/x=x+1/x
设x1，x2属于[1,正无穷大），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=x1+1/x1-（x2+1/x2）
=（x1-x2）+（1/x1-1/x2）
=（x1-x2）+（（x2-x1）/x2x1）
=（x1-x2）-（（x1-x2）/x2x1）
=（x1-x2）（1-1/x1x2）
由x1，...
全部展开
解由f(x)=x2+1/x=x+1/x
设x1，x2属于[1,正无穷大），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=x1+1/x1-（x2+1/x2）
=（x1-x2）+（1/x1-1/x2）
=（x1-x2）+（（x2-x1）/x2x1）
=（x1-x2）-（（x1-x2）/x2x1）
=（x1-x2）（1-1/x1x2）
由x1，x2属于[1,正无穷大）
知x1x2＞1
即1/x1x2＜1
即1-1/x1x2＞0
又由x1＜x2
即（x1-x2）（1-1/x1x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
故f（x）是增函数。
收起
解 f（x）=x^2+1/x，x>=1
f'（x）=2x-1/x^2=（2x^3-1）/x^2
令2x^3-1=0
所以x=（1/2）^（1/3）<1
画草图有
当x>=1有f’（x）>0
所以f（x）在x>=1时为增函数
把函数求导得：f′(x)=2x，然后f′(x）在【1,∞）为增函数，且x=1是f′(x)=2大于零，所以
f(x)=x2+1/x在区间[1,+∞)上是单调增函数
就这些，希望有帮助，符号难打啊！！！
设1≤x1
=(x2-x1)(x2+x1)-(x2-x2)/x1x2
=(x2-x1)(x2+x1-1/x1x2)
x2+x1>2 0<1/x1x2<1
所以x2+x1-1/x1x2>0
上式大于0，是增函数