三角形的外心垂心重心问题O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG

三角形的外心垂心重心问题O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG
三角形的外心垂心重心问题
O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG

三角形的外心垂心重心问题O,G,H分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证向量GH=2向量OG
这个定理就是欧拉定理.以下为三种证法
欧拉线的证法1
　　作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’
　　∵ BD是直径
　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角
　　∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC
　　∴ DA‖CH,DC‖AH
　　∴ 四边形ADCH是平行四边形
　　∴ AH=DC
　　∵ M是BC的中点,O是BD的中点
　　∴ OM= 1/2DC
　　∴ OM= 1/2AH
　　∵ OM‖AH
　　∴ △OMG’ ∽△HAG’
　　∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
　　∴ G’是△ABC的重心
　　∴ G与G’重合
　　∴ O、G、H三点在同一条直线上
　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
编辑本段
欧拉线的证法2
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 .联结AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点.
　　联结OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1.
　　联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
　　联结FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
　　又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°.即O、G、H三点共线.
编辑本段
欧拉线的证法3
　　利用向量证明,简单明了
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点.
　　∵向量OH=向量OA+向量AH
　　=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）
　　=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
　　=向量OA+向量OB+向量OC；
　　而向量OG=向量OA+向量AG
　　=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）
　　=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]
　　=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.
　　∴向量OG=1/3向量OH,
　　∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH.

证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同...

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证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，
又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，
相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,
所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；
又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1，
所以向量GH=2向量OG原命题得证。

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证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同...

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证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，
又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，
相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,
所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；
又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1，
所以向量GH=2向量OG原命题得证。
图：

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直接给你看《奥赛经典》的解释吧，欧拉定理不难证，不过很漂亮，如有任何问题请追问，谢谢！原图没法上传，这是qq截的图，看不清楚再说~

证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
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证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,
所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，
又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，
相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,
所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；
又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1，
所以向量GH=2向量OG原命题得证。

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