作业帮O,M,G分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证：O,M,G三点共线
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/16 12:18:40
O,M,G分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证：O,M,G三点共线
O,M,G分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证：O,M,G三点共线
O,M,G分别是△ABC的外心,重心,垂心,求证：O,M,G三点共线
这条线有名称的哦~叫 欧拉线~
我就直接引用证法了,
注意:证法中 H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心,和你的要求不一样...
.为了方便且避免出错...我也懒得改了...谨记.
欧拉线的证法1
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
欧拉线的证法2
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心
.连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点.连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC.连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC.所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD.由于G为重心,则GA:GD=2:1.连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点.同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2.FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA.所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°.即O、G、H三点共线.
欧拉线的证法3
利用向量证明,简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,则向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+向量DC=向量OA+向量DO+向量OC=向量OA+向量OB+向量OC,向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）,3*向量OG=向量OH,所以O、G、H三点共线且OG=1/3OH.
构建一个直角坐标系，求出三点坐标，再证
你的题目太难了~