三角形ABC的三边长a.b.c的倒数成等差数列,求证：∠B＜90º

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 19:33:09

三角形ABC的三边长a.b.c的倒数成等差数列,求证：∠B＜90º
三角形ABC的三边长a.b.c的倒数成等差数列,求证：∠B＜90º

三角形ABC的三边长a.b.c的倒数成等差数列,求证：∠B＜90º
因为a.b.c的倒数成等差数列,
所以2／b＝1／a＋1／c；
假设∠B≥90º,从而b边最大,
即b＞a,b＞c,
于是1／b＜1／a,1／b＜1／c,
则2／b＜1／a＋1／c；这与巳知矛盾,
因此∠B＜90º.

全部展开

a、b、c的倒数成等差数列，则
2/b=1/a+1/c=(a+c)/(ac)
b=2ac/(a+c)
由余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=[a^2+c^2-[2ac/(a+c)]^2]/(2ac)
=(a^2+c^2)/(2ac) -2ac/(a+c)^2
[(a^2+c^2)/(2ac)]/[2ac/(a+c)^2]
=(a^2+c^2)(a+c)^2/(2ac)^2
由均值不等式得a^2+c^2≥2ac (a+c)^2=a^2+c^2+2ac≥4ac
两不等式均当且仅当a=c时取等号
(a^2+c^2)(a+c)^2/(2ac)^2≥(2ac)(4ac)/(2ac)^2=2>1
(a^2+c^2)/(2ac) -2ac/(a+c)^2>0
cosB>0
B为三角形内角，又余弦值>0，0°

收起

三角形ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列,证角B 三角形ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证：B 三角形ABC的三边长a.b.c的倒数成等差数列,求证：∠B＜90º 三角形ABC三边长a,b,c,的倒数成等差数列,求证：角B小于90° 如果三角形ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,则b所对的角为啥是锐角,证明下! 三角形ABC的三边长abc的倒数成等差数列求证B 三角形ABC的三边长a,b,c成等差数列,求B的取值范围三角形ABC的三边长a,b,c成等比数列,求角B的范围已知三角形ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c满足等式3（a*a+b*b+c*c)=(a+b+c)(a+b+c).请你说明三角形ABC是等三角形ABC中,三边长a,b,c成等差数列,求角B的范围. 设三角形三内角ABC成等差数列,三条边abc的倒数也成等差数列.求A,B,C. 已知三角形ABC中,三内角A,B,C的角度.依次成等差数列,三边长a,b,c依次成等比数列,判断三角形ABC的形状已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状已知abc是三角形abc的三边长,化简 | a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b| 已知ABC是三角形ABC的三边长,化简/A+B-C/+/B-A-C/-/C-A+B/ 已知abc分别为三角形abc的三边长,化简|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b| 若a,b,c是三角形ABC的三边长,试化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|. 设a.b.c是三角形ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|