作业帮三角形重心到三条边的距离与三角形三条边的长成反比是什么意思?三角形重心到三个顶点距离的平方和最小又是什么意思?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 03:06:27
三角形重心到三条边的距离与三角形三条边的长成反比是什么意思?三角形重心到三个顶点距离的平方和最小又是什么意思?
三角形重心到三条边的距离与三角形三条边的长成反比是什么意思?三角形重心到三个顶点距离的平方和最小又是什么意思?
三角形重心到三条边的距离与三角形三条边的长成反比是什么意思?三角形重心到三个顶点距离的平方和最小又是什么意思?
1、三角形边越长重心到这个边的距离就越短
2、在这个三角形所处的平面内任意一点（包含重心）到三角形的三个顶点的距离的平方和比较起来,重心的到三顶点的平方和最小
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证明重心到顶点平方和最小
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 证毕
因为三条中线形成的六个三角形面积相等，所以任意一个三角形的底边乘高，即重心和三个边垂足距离分别乘三个边的积相等。六个三角形面积相等，即乘积相等，那乘数和被乘数的关系必然是反比。所以重心到三边的距离与三角形三条边的长成反比。...
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因为三条中线形成的六个三角形面积相等，所以任意一个三角形的底边乘高，即重心和三个边垂足距离分别乘三个边的积相等。六个三角形面积相等，即乘积相等，那乘数和被乘数的关系必然是反比。所以重心到三边的距离与三角形三条边的长成反比。
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