作业帮一道简单的有理函数积分题,求详细运算过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 07:08:55
一道简单的有理函数积分题,求详细运算过程
一道简单的有理函数积分题,求详细运算过程
一道简单的有理函数积分题,求详细运算过程
∵∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx＝∫｛1/［（x＋1/2）^2＋3/4］^2｝dx,
∴可令x＋1/2＝（√3/2）t,则：t＝（2x＋1）/√3,dx＝（√3/2）dt,
∴∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx
＝（√3/2）∫｛1/［（3/4）t^2＋3/4］^2｝dt＝［（√3/2）/（9/16）］∫［1/（t^2＋1）^2］dt
＝（8√3/9）∫［1/（t^2＋1）^2］dt.
再令t＝tanu,则：u＝arctant,dt＝［1/（cosu）^2］du,
∴∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx
＝（8√3/9）∫｛1/［（tanu）^2＋1］^2｝［1/（cosu）^2］du
＝（8√3/9）∫（cosu）^2du
＝（4√3/9）∫（1＋cos2u）du
＝（4√3/9）∫du＋（2√3/9）∫cos2ud（2u）
＝（4√3/98）u＋（2√3/9）sin2u＋C
＝（4√3/9）arctant＋（4√3/9）sinucosu＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］＋（4√3/9）tanu/［（tanu）^2＋1］＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］＋（4√3/9）t/（t^2＋1）＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］
＋（4√3/9）［（2x＋1）/√3］/｛［（2x＋1）/√3］^2＋1｝＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］＋（4/9）（2x＋1）/［（4x^2＋4x＋1）/3＋1］＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］＋（4/3）（2x＋1）/（4x^2＋4x＋1＋3）＋C
＝（4√3/9）arctan［（2x＋1）/√3］＋（2x＋1）/（3x^2＋3x＋3）＋C.