几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 10:29:49
几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC）

几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC）
几何不等式 爆难!
P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离
求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC）

几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC）
该不等式即Féjes不等式.可由Eedös-Mordell不等式得到,它们是互为反演命题.
Eedös-Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式：
设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.
则有：x+y+z≥2*(p+q+r)
有了这个不等式,我们作如下证明：
任取k>0,以P为中心作反演变换,I(P,k).
设A,B,C的反演点为A',B',C',D,E,F的反演点为D',E',F'.
因为P,E,A,F四点共圆,PA是直径,
所以E',A',F'三点共圆,且PA'⊥E'F'.
同理F',B',D'三点共圆,且PB'⊥D'F';D',C',E'三点共圆,且PC'⊥D'E'.
因为PA*PA'=PB*PB'=PC*PC'=k,于是结论转化为
PD'+PE'+PF'≥2(PA'+PB'+PC')
这正是对ΔD'E'F'而言的Eedös-Mordell不等式.
因而Féjes不等式得证.

几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2（1/PA+1/PB+1/PC） 请教几何（图已画）P是三角形ABC内任意一点,求证：PD/DA+PE/EB+PF/FC=1 高中几何不等式 竞赛题设点P是正三角形ABC内一点,证明:由PA,PB,PC组成的三角形的面积不超过三角形ABC的面积的三分之一 几何平均不等式--习题设三角形变长为3.4.5P是三角形内的一点则P到这三角形三遍距离乘积的最大值 已知p是三角形abc内任意一点,试说明pa＋pb小于ac+bc 如图,P是三角形ABC内的任意一点.求证：PB+PC大于AB+AC. 已知P是三角形ABC内任意一点,试判断pB+PC 点P是三角形ABC内任意一点,试说明PB+PC 已知 P 是三角形ABC内任意一点 求证AB+BC+CA大于PA+PB+PC 如图,已知P是三角形ABC内任意一点,求证:角BPC>角A 已知P是三角形ABC内任意一点,试判断pB+PC 已知：P是三角形ABC内任意一点,求证AB+AC＞BP+PC 已知p是三角形abc内任意一点,连bp,cp,求证:角bpc>角bac 已知p是三角形abc内任意一点 求证BP+CP 设P是三角形ABC内的任意一点,试说明：PB+PC< BA+AC 设P是三角形ABC内的任意一点,试说明：PB+PC< BA+AC. p为三角形ABC内任意一点,求证:PA+PB 三角形ABC内任意一点P证明PA+PB+PC