作业帮如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 06:27:05
如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
如何通过计算验证K1*K2=-1时,两直线垂直
设直线 L1 斜率为 K1 L2 为K2 两直线交点为M
则平移直线的L1,L2 使交点M与原点重合 则斜率不变
直线方程为 y=k1x+b y=k2x+b 有 他们过原点
直线方程为y=k1x y=k2x 与x轴夹角为 a1 a2
则可知分别过点（0,0）（1,k1）
（0,0）（1,k2）
cos（a1-a2）=cosa1cosa2+sina1sina2
=1/{（1+K1^2)^0.5*（1+K2^2)^0.5}+k1*k2/（1+K1^2)^0.5*（1+K2^2)^0.5
=(1+k1*k2)/（1+K1^2)^0.5*（1+K2^2)^0.5
分母 恒大于0 欲使等式为0 则 1+k1k2=0 即 k1k2=-1 时 cos（a1-a2）=0 即 夹角90度
在坐标轴上设两直线a和b，斜率分别为k1和k2，且k1和k2满足K1*K2=-1。a和b与x轴分别相交于A点和B点，a和b相交于C点，过C点作AB的垂线，垂足为D
由斜率定义得CD/AD=k1，-CD/BD=K2
因为k1*k2=-1
所以CD/AD=BD/CD
所以△ACD和△CBD是相似三角形
所以∠B=∠ACD
因为∠A=90°-∠ACD
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在坐标轴上设两直线a和b，斜率分别为k1和k2，且k1和k2满足K1*K2=-1。a和b与x轴分别相交于A点和B点，a和b相交于C点，过C点作AB的垂线，垂足为D
由斜率定义得CD/AD=k1，-CD/BD=K2
因为k1*k2=-1
所以CD/AD=BD/CD
所以△ACD和△CBD是相似三角形
所以∠B=∠ACD
因为∠A=90°-∠ACD
所以∠B+∠A=90°
所以△ACB是直角三角形，∠ACB是直角
所以直线a⊥直线b
由此证得K1*K2=-1时,两直线垂直
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设L1的斜率为K1,L2的斜率为k2,那么它们的方向向量就分别为（1，K1）、（1，K2），则
（1，K1）×（1，K2）＝1＋K1×K2，而K1*K2=-1，
则（1，K1）×（1，K2）＝0，那么它们相互垂直。
两直线a,b分别为k1，k2的斜率
不论其在坐标轴上处于什么角度,设a和x轴成α角度
那b和x轴就是90°+α的角度
则tan(90°+α)=-1/tanα
注推算过程:tan(90+α)=sin(90+α)/cos(90+α)=cosα/(-sinα)=-cotα=-1/tanα
很显然,k1=tanα,k2=tan(90°+α)
两者积恒等于-1...
全部展开
两直线a,b分别为k1，k2的斜率
不论其在坐标轴上处于什么角度,设a和x轴成α角度
那b和x轴就是90°+α的角度
则tan(90°+α)=-1/tanα
注推算过程:tan(90+α)=sin(90+α)/cos(90+α)=cosα/(-sinα)=-cotα=-1/tanα
很显然,k1=tanα,k2=tan(90°+α)
两者积恒等于-1
以上推算过程是代数过程,实际上你也可以用几何方法进行变化转替分母分子
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