作业帮函数fx=（x-1）lnIxI-1的零点个数为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 14:39:23
函数fx=（x-1）lnIxI-1的零点个数为
函数fx=（x-1）lnIxI-1的零点个数为
函数fx=（x-1）lnIxI-1的零点个数为
讨论化简函数,这是一个分段函数：
x＞0时,f(x)=(x-1)lnx-1
所以f'(x)=lnx+(x-1)/x
知0＜x＜1时f'(x)＜0
x＞1时f'(x)＞0
所以f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增
有最小值f(1)=-1＜0,又因为易知x→+∞时,f(x)→+∞
(解释x→+∞时,f(x)→+∞：x趋于无穷大时x-1和lnx同时趋于无穷大,相乘显然也趋于无穷大,减1后仍然趋于无穷大)
则由图像特征知x∈(0,+∞)时,f(x)有两个零点
x＜0时,f(x)=(x-1)ln(-x)-1
f'(x)=ln(-x)+(x-1)/x＞0恒成立
因而f(x)在(-∞,0)上递增,又因为易知x→0时,f(x)→+∞
(解释x→0时,f(x)→+∞：x趋于零时,x-1趋于-1,ln(-x)趋于负无穷,相乘就变成正无穷了)
而函数值小于零的x取值显然存在(比如x=-100)
所以此时函数有一个零点
综上f(x)有3个零点
这是常规解法,画出草图就可以不需要很精确就可以判断了
楼上的精确图都很好可以帮助理解
定义域是：x ≠ 0 当x= 1 的时候， y= -1 不是零点 对令y =0 得到 （x-1）ln|x|-1=0 ln|x|=1/(x-1) 作出ln|x|的图像 和 1/(x-1)的图像 如图 所以有三个零点
f（x）=（x-1）ln｜x｜-1 因为｜x｜>0,所以x>0或x<0 x>0时 对f(x)求导，有f'(x)=Inx-1/x+1 因为Inx为增，-1/x为增，所以导函数为增 又因为当x=1时f'(x)=0固0<x<1时f'(x)<0，原函数减小,x>1时，f'(x)>0，原函数增大。 因为当x趋于0时，f(x)趋于正无穷，x=1时f(x)=-1,所以在0,1之间有一个零点 又因为当x趋于无穷时，f(x)趋于无穷，所以在1，无穷之间有一零点。 综上x为正时有两个零点 x<0时 f'(x)=In(-x)+1-1/x 对它求导数,f''(x)=1/x+1/(x^2) 当x<-1,f''(x)<0 当x=-1,f''(x)=0 当0>x>-1,f''(x)>0，固f'(x)在x=-1时取最小值即2，所以f’（x）>=2 所以f（x）为增，当x趋于负无穷时，f（x）趋于负无穷，当x趋于－0时，f(x)趋于正无穷，加之它单调固有一个零点 综上有三个零点 （若想打的函数是f（x）=（x-1）ln（｜x｜-1），（x>1或x<-1）显然在±2处有零点,共两个）现给出这两种情况的图
(x-1)*ln |x|-1=0 <=> (x-1)*ln |x|=1 <=> ln |x|=1/(x-1) （x=1显然不是这个方程的根） 在同一个坐标系中，做出函数y1=ln|x|与y2=1/(x-1)， 根据焦点个数判断此方程根的个数，即可得到原来函数的零点个数。 如图所示，红色为y1=ln|x|的图像，绿色为y2=1/(x-1)的图像，其中绿色竖直线为y2的一条渐进线。 交点共有三个，故意函数有3个零点。