作业帮1x2+2x3+3x4+4x5+.+n(n+1)等于多少?急救!请写下过程,谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 17:48:54
1x2+2x3+3x4+4x5+.+n(n+1)等于多少?急救!请写下过程,谢谢
1x2+2x3+3x4+4x5+.+n(n+1)等于多少?急救!
请写下过程,谢谢
1x2+2x3+3x4+4x5+.+n(n+1)等于多少?急救!请写下过程,谢谢
1x2+2x3+3x4+…+n(n+1)
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+…+n^2+n
=(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+(1+2+3+…+n)
=1/6*n(n+1)(2n+1)+1/2*n(n+1)
=1/6*n(n+1)(2n+1+3)(提取公因式）
=1/3*n(n+1)(n+2)
在这里我只给你点提示：
公式一 n(n+1)=n^2+n
公式二 1^2+2^2+3^3+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
公式三 1+2+3+…+n=n(n+1)/2
上面的兄弟已经解答出来了。很正确，不过怕您不会用公式二。
关于公式二的证明：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立...
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在这里我只给你点提示：
公式一 n(n+1)=n^2+n
公式二 1^2+2^2+3^3+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
公式三 1+2+3+…+n=n(n+1)/2
上面的兄弟已经解答出来了。很正确，不过怕您不会用公式二。
关于公式二的证明：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
对于1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 的证明：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
当然也可以用数学归纳法证明
特别声明！！！
对公式二的原回答者为：
liu30003000 - 首席运营官 十三级
原网址出处：http://zhidao.baidu.com/question/97107830.html?si=1
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