设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 12:35:01

设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！
设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值
注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！

设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！
sinβ/sinα=cosα*cosβ-sin*αsinβ ……①
①*（sin/αcosβ）得到 tanβ=sinαcosα-sin^2αtanβ
移项再除（1+sin^2α）得到tanβ=sinacosa/（1+sin^2α）
因为1=sin^2α+cos^2α所以sinαcos/α（1+sin^2α）=
sinαcos/α（2sin^2α+cos^2α）……②
②的分子分母同时除cos^2α得到：tan/α（2tan^2α+1）……③
1/③=1/[（2tan^2+1）/tanα]即1/[2tanα+2/2tanα]……④
因为α为锐角所以tanα》0,求tanβ的最大值就是求④的最大值
则要求2tanα+2/2tanα最小值,根据基本不等式得到2tanα+2/2tanα≥2倍根号2
所以1/[2tanα+2/2tanα]最大值为1/2倍根号2
即tanβ的最大值：（根号2）/4

sinβ/sina=cosa*cosβ-sina*sinβ
sinβ=cosβ-sina2sinβ
1=1/tanβ-sina2
tanβ=1/(1+sina2)
tanβ=1/2

全部展开

sinβ/sina=cosa*cosβ-sina*sinβ
sinβ=sina*cosa*cosβ-sina*sina*sinβ 同除cosβ
tanβ=1/2*sin2a+tanβ*(cos2a-1)/2 移项,合并
tanβ=sin2a/(3-cos2a) 利用万能公式
tanβ=tana/(1+2tana*tana) 右边同除tana
=1/(1/tana+2tana) 利用a+b≥2√（ab)当且仅当a=b时取等号。
有tanβ≤1/2√2=√2/4,当tana=√2/2时取等号,即最大值为√2/4

收起

若sin(α+β)=2sinα,且α、β均为锐角,求证α 设α,β都是锐角,且sinα 设α,β均为锐角,且sinα-cosβ=0,则α+β=___ 设α, β为锐角,则sin(α+ β) ,sin β+sinα比大小若α,β均为锐角,且cos（α+β）=sinα=1／3,求sinβ αβ都为锐角,且COSαCOSβ-SINαSINβ=SINαCOSβ-COSαSINβ,求TANα 设α,β,γ都是锐角,且sinα+sinβ+sinγ=1证明(1)sin2α+sin2β+sin2γ≥1/3 设α为锐角,且sinα=3cosα,则sinα×cosα的值等于? 已知α为锐角,且sin α 设α,β均为锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β),求tanβ的最大值注意是tanβ的最大值，不是所有可能的值！若α,β均为锐角,且2sinα=sin(α+β),则α与β的大小关系为?α等不等于β 已知α、β均为锐角,且2sinα=sin（α+β）,则α与β的大小关系为? 若α、β均为锐角,且2sinα=sin（α+β）,则α与β的大小关系为? 若α,β,γ为锐角且sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,则tan(α-β)=? 已知sinα=√5/5,sinβ=√2/2sinα,且α,β为锐角,求α+β的值已知α,β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan（α+β）=? α与β均为锐角,且sinα-sinβ=-1/2 cosα-cosβ=1/2,则tan(α-β)= 若α,β均为锐角,且cosα/sinβ+cosβ/sinα=2.求证α+β=π/2