已知函数f(x)=loga(4-x)-loga(x+4)【注a为底数】求当a=2时,函数的值域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 07:48:00
已知函数f(x)=loga(4-x)-loga(x+4)【注a为底数】求当a=2时,函数的值域

已知函数f(x)=loga(4-x)-loga(x+4)【注a为底数】求当a=2时,函数的值域
已知函数f(x)=loga(4-x)-loga(x+4)【注a为底数】求当a=2时,函数的值域

已知函数f(x)=loga(4-x)-loga(x+4)【注a为底数】求当a=2时,函数的值域
这道题的问题很有趣,这种题一般会考察函数定义域而不是值域.
合并后真数为4+x\4-x,据此有几种思路.
正规思路:合并后设4+x\4-x=t(t>0),
易得-4<x<4,所以将式子4+x\4-x=t同乘4+x(4+x>0)后化得x=t+1\4-4t,然后将-4<x<4中x代换为含t的分数,将新不等式解得t>0.综上述,t能取到所有正数,所以在以2为底的对数函数中,值域为全体实数.
图像思路:分别画出y1=loga(4-x)与y2=loga(x+4)图像,然后在(-4,4)区间中取相同x,得到y1 - y2的大小,这些大小的集合就是f(x)的值域,包含了全体实数.
(图像可能有难度,其中y1是通过y=loga(x)关于y轴对称后向右平移4个单位得到;y2通过将y=loga(x)向左平移四个单位得到.其中x逼近-4时取到正无穷,x逼近4时取到负无穷.)
极限思路:4+x\4-x中,当x逼近且大于-4时,4+x无限逼近0,而4-x无限逼近于7,所以整个分数值无限逼近于0且为正数,所以此时f(x)值为负无穷.同理当x逼近且大于-4时,f(x)值为正无穷.
综上述,f(x)值随着x增大,由负无穷变化到正无穷,所以值域为全体实数.
希望能帮到楼主.