作业帮已知数列前n项的和Sn=2n次方- 1,则此数列奇数项的前n项的和是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:09:44
已知数列前n项的和Sn=2n次方- 1,则此数列奇数项的前n项的和是多少?
已知数列前n项的和Sn=2n次方- 1,则此数列奇数项的前n项的和是多少?
已知数列前n项的和Sn=2n次方- 1,则此数列奇数项的前n项的和是多少?
当n>=2时 有an=Sn-S(n-1)=2^n - 1 - [ 2^(n-1) -1] = 2^(n-1) 即时an=2^(n-1)
当n=1时 有 a1=S1=2^n-1=1 适合an=2^(n-1)
所以{an}通项是an=2^(n-1)
又an/a(n-1)=2^(n-1)/2^(n-2)=2,所以数列{an}是以首项为1,公比为2的等比数列
则其奇数项是以首项为1公比为4的等比数列 即a(2n-1)=4^(n-1)
所以S（2n-1)=1 * (1 - 4^n)/(1 - 4)=(1/3)*(4^n - 1)
注意 an=Sn-S(n-1)只有在n>=2时才成立,所以 an=2^(n-1)是不是通项,还要验证n=1时是否成立.
Sn = 2^n - 1
Sn-1 = 2^(n-1) -1
当n>=2时
两式相减得
Sn - Sn-1 = an = 2^n - 1 - [ 2^(n-1) -1] = 2^(n-1)
当n=1时
有 a1=S1=2^n-1=1 适合an=2^(n-1)
可见an是首项为1公比为2的等比数列
其奇数项则为首项为1公比为2^2...
全部展开
Sn = 2^n - 1
Sn-1 = 2^(n-1) -1
当n>=2时
两式相减得
Sn - Sn-1 = an = 2^n - 1 - [ 2^(n-1) -1] = 2^(n-1)
当n=1时
有 a1=S1=2^n-1=1 适合an=2^(n-1)
可见an是首项为1公比为2的等比数列
其奇数项则为首项为1公比为2^2的等比数例 即4^(n-1)
其前n项和为
1 * (1 - 4^n)/(1 - 4)=1/3(4^n - 1)
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