如图1,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点D,顶点的坐标为(2,4)直角三角形ABC的顶点

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 17:27:15

如图1,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点D,顶点的坐标为(2,4)直角三角形ABC的顶点
如图1,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点D,顶点的坐标为(2,4)直角三角形ABC的顶点

如图1,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点D,顶点的坐标为(2,4)直角三角形ABC的顶点
大哥,你问题都没说清楚啊~

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（1）解法1：∵l1⊥l2，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴COBO=AOCO，
即CO3=1CO，
∴CO=3，
∴点C的坐标是（0，3），
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+3，
把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+3，
得a+b+3=09a-3b+3=0，
解这个方程组，得a=-33b=-233，
∴抛物线的函数解析式为y=-33x2-233x+3．
解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴OC=3，
∴点C的坐标是（0，3），
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把C（0，3）代入
函数解析式得a=-33，
所以，抛物线的函数解析式为y=-33(x-1)(x+3)=-33x2-233x+3；
（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
理由如下：
设直线l1的解析式为y=kx+b，把A（1，0），C（0，3），代入解析式，
解得k=-3，b=3，
所以直线l1的解析式为y=-3x+3，
同理可得直线l2的解析式为y=33x+3，
抛物线的对称轴为直线x=-1，
由此可求得点K的坐标为（-1，23），
点D的坐标为（-1，433），点E的坐标为（-1，233），点F的坐标为（-1，0），
∴KD=233，DE=233，EF=233，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，
理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
则可得EF=BF×tan30°=233，KF=AF×tan60°=23，
由顶点D坐标（-1，433）得DF=433，
∴KD=DE=EF=233；
（3）当点M的坐标分别为（-2，3），（-1，433）时，△MCK为等腰三角形．
理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，
∵F（-1，0），直线l1的解析式为y=-3x+3，
∴K（-1，23），
∵B（-3，0），
∴直线BK的解析式为：y=3x+33①，
∵抛物线的函数解析式为y═-33x2-233x+3②；
①②联立即可求出点G的坐标为（-2，3），
又∵点C的坐标为（0，3），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（-2，3），
（ii）连接CD，由KD=233，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（-1，433），
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，3），（-1，433）时，△MCK为等腰三角形．

收起

（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0，0），
∴得a（x-2）2+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4，
即y=-x2+4x．（4分）