作业帮在三角形ABC中,AB=1,AC=2,O为三角形ABC外接圆的圆心,则向量OA·向量BC=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:44:00
在三角形ABC中,AB=1,AC=2,O为三角形ABC外接圆的圆心,则向量OA·向量BC=?
在三角形ABC中,AB=1,AC=2,O为三角形ABC外接圆的圆心,则向量OA·向量BC=?
在三角形ABC中,AB=1,AC=2,O为三角形ABC外接圆的圆心,则向量OA·向量BC=?
储备知识：
1）余弦定理：三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
或cosB=(a²+c²-b²)/2ac
或cosC=(a²+b²-c²)/2ab
2）向量的数量积
向量OA•向量OB
=|向量OA|•|向量OB|•cos∠BOA
这题刚好遇到三角形外接圆
|OA|=|OB|=|OC| 【下面“向量”都省略】
AO•BC
=AO•(BO+OC)
=AO•BO+AO•OC
=OA•OB-OA•OC
=|OA|•|OB|•cos∠AOB-|OA|•|OC|cos∠AOC
分别在△OAC,△OAB中使用余弦定理
原式
=|OA|•|OB|•【(|OA|²+|OB|²-|AB|²)/2|OA|•|OB|】-|OA|•|OC|•【(|OA|²+|OC|²-|AC|²)/2|OA|•|OC|】
=(|OA|^2+|OB|^2-1)/2 -(|OA|^2+|OC|^2-4)/2
=3/2
若设BC边中线AD,因为 向量AO=2/3向量AD,
所以我们可知：在△ABC中,AD是中线,若已知AB,AC,则向量AD•向量BC为定值
也可以这么推导
AD•BC
=(AB+AC)•BC/2
=(-BA•BC+CA•CB)/2
=-(|BA|²+|BC|²-|AC|²)/4+(|CA|²+|CB|²-|AB|²)/4
=(|AC|²-|AB|²)/2
=(3/2) AO•BC
是定值
【当然像 jmd的 说的“若是填空题,取特殊情况是很好的方法】
若是选择填空，可按特殊三角形来做，若是大题，可看下面的方法做：
显然|OA|=|OB|=|OC|
OA·BC
=OA·(BO+OC)
=OA·BO+OA·OC
=OA·OC-OA·OB
=|OA|*|OC|*[(|OA|^2+|OC|^2-|AC|^2)/2|OA|*|OC|]-|OA|*|OB|*[(|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2)/2|...
全部展开
若是选择填空，可按特殊三角形来做，若是大题，可看下面的方法做：
显然|OA|=|OB|=|OC|
OA·BC
=OA·(BO+OC)
=OA·BO+OA·OC
=OA·OC-OA·OB
=|OA|*|OC|*[(|OA|^2+|OC|^2-|AC|^2)/2|OA|*|OC|]-|OA|*|OB|*[(|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2)/2|OA|*|OB|]
=(|OA|^2+|OC|^2-4)/2-(|OA|^2+|OB|^2-1)/2
=-3/2
如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！
收起
-1.5
把三角形看作一个角为三十度的指教三角形求解