作业帮圆锥曲线试题已知椭圆的离心率为二分之根号三,直线y=(1/2)x+1与椭圆交与两点A,B,M在椭圆上,向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3）*向量OB,求椭圆方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 13:31:13
圆锥曲线试题已知椭圆的离心率为二分之根号三,直线y=(1/2)x+1与椭圆交与两点A,B,M在椭圆上,向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3）*向量OB,求椭圆方程.
圆锥曲线试题
已知椭圆的离心率为二分之根号三,直线y=(1/2)x+1与椭圆交与两点A,B,M在椭圆上,向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3）*向量OB,求椭圆方程.
圆锥曲线试题已知椭圆的离心率为二分之根号三,直线y=(1/2)x+1与椭圆交与两点A,B,M在椭圆上,向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3）*向量OB,求椭圆方程.
e=c/a=√3/2, 则e²＝c²／a²=3/4, b²/a²=1/4
椭圆方程为：x²/a²+y²/(a²/4)=1,
因为A,B,M都在椭圆上,于是可设他们的坐标分别为：
A(acosα,(a/2）sinα),B(acosβ,(a/2)sinβ）,M(acosγ,(a/2)sinγ)）
由:向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3）*向量OB得到：
（acosγ,(a/2)sinγ）=
（(a/2)cosα,(a/4）sinα） + ((√3a/2)cosα,(√3a/4）sinα )
有：acosγ=(a/2)cosα + (√3a/2)cosα
(a/2)sinβ=(a/4）sinα + (√3a/4）sinα
化简：cosγ=(1/2)cosα + (√3/2)cosα.1
sinγ=(1/2）sinα + (√3/2）sinα.2
1式子²+2式子²得：
1=1/4+3/4+（√3/2）（cosαcosβ+sinαsinβ）=1+（√3/2）cos（α-β）
所以：cos（α-β）=0.3
又A(acosα,(a/2）sinα),B(acosβ,(a/2)sinβ）在直线y=x/2 +1上,有：
(a/2）sinα=（a/2）cosα +1
(a/2）sinβ=（a/2）cosβ +1
得到：a（sinα-cosα）=2.4
a（sinβ-cosβ）=2.5
4式²+5式²得：
a²-2sinαcosα+a²-2sinβcosβ=4
2a²-（sin2α+sin2β）=4
和差化积：2a²-2sin（α+β）cos（α-β）=4.6
又由3式子cos（α-β）=0代入6式子有：
a²=2
椭圆方程为：x²/2 +y²/(2/4)=1
即：x²+4y²-2=0