作业帮抛物线y2=2PX (P>0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长是5根号3,求此抛物线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:20:49
抛物线y2=2PX (P>0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长是5根号3,求此抛物线方程
抛物线y2=2PX (P>0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长是5根号3,求此抛物线方程
抛物线y2=2PX (P>0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长是5根号3,求此抛物线方程
已知一条直角边的方程为y=2x,且直角顶点在原点
则另一条直角边的方程为y=-1/2x,设交于A（x1,y1)、B(x2,y2)两点
联立y²=2px1 y=2x1
y²=2px2 y=-1/2x2
x1=p/2 y1=p
x2=8p y2=-4p
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-2/3
斜边=根号下（1+k^2)(x1-x2)^2=(5p*根号下13)/2=5√3
所以p=（2*根号下39）/13
所以抛物线方程为y²==（4*根号下39）x/13
为了便于理解，先自己画个图出来，（以原点为顶点，暂定x轴正方向为开口方向的抛物线）设另外两个顶点分别为M、N，M在第一象限，N在第四象限。
然后知道M点是过直线y=2x的(一条直角边）
则M点为抛物线和直线的交点，
可知：Ym²=2pXm
Ym=2Xm
解关于Xm，Ym的二元方程得：M（p/2，p）
又另一条直角边是与直线y=2x垂直的，且...
全部展开
为了便于理解，先自己画个图出来，（以原点为顶点，暂定x轴正方向为开口方向的抛物线）设另外两个顶点分别为M、N，M在第一象限，N在第四象限。
然后知道M点是过直线y=2x的(一条直角边）
则M点为抛物线和直线的交点，
可知：Ym²=2pXm
Ym=2Xm
解关于Xm，Ym的二元方程得：M（p/2，p）
又另一条直角边是与直线y=2x垂直的，且过原点，故其方程为：y=-1/2x
则N点为抛物线和直线y=-1/2x的交点
可知：Yn²=2pXn
Yn=-1/2Xn
解关于Xn，Yn的二元方程组得：N（8p，-4p）
由以上可以知道:OM²=p²/4+p²
ON²=64p²+16p²
则根据直角三角形勾股定理有：
OM²+ON²=MN²
得：p²/4+p²+64p²+16p²=75
化简得：81.25p²=75
则p=正负13分之根号156
所以，抛物线的方程为：有两个，自己写了。
收起