作业帮双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(2x)-chx的值域为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:29:53
双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(2x)-chx的值域为?
双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(2x)-chx的值域为?
双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(2x)-chx的值域为?
据题,得：
y=ch(2x) - chx
=½(e^2x+e^-2x)-½(e^x+e^-x),
令t=e^x,则：
f(t)=y=½(t²+1/t²)-½(t+1/t)
=½(t²+2+1/t²-2)-½(t+1/t)
=½[(t+1/t)²-2]-½(t+1/t),(t>0)
再令a=t+1/t,则：
g(a)=f(t)=½(a²-2)-½a
=½(a²-a-2)
=½(a-2)(a+1),
其中,a=t+1/t≥2√(t▪1/t)=2,当且仅当t=1/t,即t=1,x=0时,a取得最小值2,故a≥2,
则g(a)=½(a-2)(a+1)表示一条开口向上,以a=½为对称轴的抛物线落在区间[2,+∞)上的部分.
由图可知,g(a)在区间[2,+∞)上恒非负,即g(a)≥0,
∴g(a)=f(t)=y≥0,故原函数值域为[0,+∞).