初三数学圆的知识点

初三数学圆的知识点
初三数学圆的知识点

初三数学圆的知识点
这个太笼统了

1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的...

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1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径；
③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；
⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
②推论（四条）
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
4.圆心角与圆周角
（1）定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；
②圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（2）定理及推论
①圆心角
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
②圆周角
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
推论二：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等；
推论三：圆内接四边形的对角互补。
5.点与圆的位置关系
（1）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单，可分为三种情况：圆内、圆上和圆外。
一般情况下，判断点和圆的位置关系，以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据，假设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P与⊙O的位置关系可表示如下：
点P 在⊙O 外 等价于d ＞r
点P 在⊙O 上 等价于d ＝r
点P 在⊙O 内 等价于d ＜r
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理，我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做该三角形的外心。
（3）反证法
不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离，详述如下：
（1）相交
直线和圆有两个公共点，则直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
（2）相切
直线和圆只有一个公共点，则直线与圆相切，该直线叫做圆的切线，该公共点叫做切点。
（3）相离
即直线和圆没有公共点。
假设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据上述定义，可以得到：
直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r
直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r
直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r
7.关于切线的定理
（1）切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线和圆相切，直线就叫做圆的切线，公共点即为切点。
（2）切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
（4）切线长
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（5）切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。另外还需知道一点，即三角形的内心到三角形三边的距离相等，也就是三角形内切圆半径。
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交，分述如下：
（1）相离
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含，两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。
（2）相切
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切。
（3）相交
两圆相交较为简单，即如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形，我们称之为正多边形。
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

收起

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆是轴对称图形，任何一条直...

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在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆（或半径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。
圆内接四边形的对角互补。
点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内——d < r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
直线L和○O—d < r 直线L和○O相切——d = r
直线L和○O相离——d > r
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，（分外离和内含）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，（分外切和内切）。如果这两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
两圆圆心的距离叫做圆心距。
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
在半径是R的圆中，因为360°圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以n°的圆心角所对的弧长为
nπR
L＝——
180
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR² nπR²
S扇形＝——
360
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
36.
37.RT△ a+b-c
r内＝——
2
38.任意三角形中 2S
r内＝——
 C

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圆
定义
　　圆的定义有2
　　其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
　　其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
概括
　　把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两...

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圆
定义
　　圆的定义有2
　　其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
　　其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
概括
　　把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。圆心决定圆的位置，半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。
　　用字母表示是：d=2r或r=d/2
圆的相关量
　　圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3.14（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159）
　　圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)。圆中最长的弦为直径(diameter)。
　　圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
　　内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
　　扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
　　【圆和圆的相关量字母表示方法】
　　圆—⊙ 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母） 弧—⌒ 直径—d
　　扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S
圆和其他图形的位置关系
　　圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
　　直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
　　两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
圆的面积与周长计算公式
　　在以下几个算式中，“C代表周长”，“S代表面积”，“R代表半径，“D代表直径”。
　　S圆=π×R²
圆的平面几何性质和定理
一有关圆的基本性质与定理
　　⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
　　
圆与直线相切
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
　　⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。　如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
　　⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
　　①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
　　②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
　　③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）
　　④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
　　⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
　　（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
　　（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
　　（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
　　（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
　　（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
　　（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
有关切线的性质和定理
　　圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
　　切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
　　切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
　　切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
　　〖有关圆的计算公式〗
　　1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
　　4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

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1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的...

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1.圆的定义
圆的定义有两个：
其一：平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它固定的一个端点O旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径：（如定义）固定的端点O即为圆心，用字母 来表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示；
②弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径；
③圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
④圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角；
⑤等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
②推论（四条）
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
4.圆心角与圆周角
（1）定义
①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；
②圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（2）定理及推论
①圆心角
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
②圆周角
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
推论二：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等；
推论三：圆内接四边形的对角互补。
5.点与圆的位置关系
（1）点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单，可分为三种情况：圆内、圆上和圆外。
一般情况下，判断点和圆的位置关系，以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据，假设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P与⊙O的位置关系可表示如下：
点P 在⊙O 外 等价于d ＞r
点P 在⊙O 上 等价于d ＝r
点P 在⊙O 内 等价于d ＜r
（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理，我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做该三角形的外心。
（3）反证法
不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离，详述如下：
（1）相交
直线和圆有两个公共点，则直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
（2）相切
直线和圆只有一个公共点，则直线与圆相切，该直线叫做圆的切线，该公共点叫做切点。
（3）相离
即直线和圆没有公共点。
假设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，根据上述定义，可以得到：
直线l 和⊙O 相交 等价于d ＜r
直线l 和⊙O 相切 等价于d ＝r
直线l 和⊙O 相离 等价于d ＞r
7.关于切线的定理
（1）切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线和圆相切，直线就叫做圆的切线，公共点即为切点。
（2）切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
（4）切线长
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（5）切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。另外还需知道一点，即三角形的内心到三角形三边的距离相等，也就是三角形内切圆半径。
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交，分述如下：
（1）相离
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含，两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。
（2）相切
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切。
（3）相交
两圆相交较为简单，即如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形——各边相等、各角也相等的多边形，我们称之为正多边形。
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边

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