作业帮小学奥数网公倍数和公约数已知两个自然数的差为30,他们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:52:29
小学奥数网公倍数和公约数已知两个自然数的差为30,他们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数
小学奥数网公倍数和公约数
已知两个自然数的差为30,他们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数
小学奥数网公倍数和公约数已知两个自然数的差为30,他们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数
两个自然数的差为30,可以说明一个问题,他们的最大公约数是30的约数.而最小公倍数也是最大公约数的倍数.而最小公倍数除以最大公约数的商应可以表示成两个互质数的乘积.可以用列举法求解
若最大公约数是30,则最小公倍数是480,480÷30=16,没有符合要求的数
若最大公约数是15,则最小公倍数是465,465÷15=41,41=41×1,没有符合要求的数
若最大公约数是10,则最小公倍数是460,460÷10=46,46=2×23=1×46,也没有符合要求的数
若最大公约数是5,则最小公倍数是455,455÷5=91,91=7×13=1×91,那么原数是35和65,符合要求.
若最大公约数是3,453÷3=151,不符合要求
若最大公约数是1,则最小公倍数是451,451=11×41,原数是11和41,符合要求.
综上所述,原数是（11,41）或（35,65）
【解答】设这两个自然是是aq和bq且(a,b)=1，最大公约数是q，最小公倍数是abq，根据题意可以知道aq－bq＝30，abq－q＝450。
aq－bq＝q（a－b）＝30，q（ab－1）＝450，q是（30，450）＝30的约数
当q＝30时，a－b＝1，ab－1＝15，不符合条件，
当q＝15时，a－b＝2，ab－1＝30，不符合条件，
当q＝10时，a－b＝...
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【解答】设这两个自然是是aq和bq且(a,b)=1，最大公约数是q，最小公倍数是abq，根据题意可以知道aq－bq＝30，abq－q＝450。
aq－bq＝q（a－b）＝30，q（ab－1）＝450，q是（30，450）＝30的约数
当q＝30时，a－b＝1，ab－1＝15，不符合条件，
当q＝15时，a－b＝2，ab－1＝30，不符合条件，
当q＝10时，a－b＝3，ab－1＝45，不符合条件，
当q＝6时，a－b＝5，ab－1＝75，不符合条件，
当q＝5时，a－b＝6，ab－1＝90，a＝13，b＝7，aq＝65，bq＝35
当q＝3时，a－b＝10，ab－1＝150，不符合条件，
当q＝2时，a－b＝15，ab－1＝225，不符合条件
当q＝1时，a－b＝30，ab－1＝450，a＝41，b＝11，aq＝41，bq＝11
即此题有两组解。
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设两个数为ad，bd，其中（a，b）=1，d为两个数的最大公约数==》
a-b=30/d （1）
ab-1=450/d （2）
==》ab-1=15（a-b）
==》224=（15+a）（15-b）=32*7
==》{15-b，15+a}={1，32*7}，{2，16*7}，{4，8*7}，{8，4*7}，{14，16}
==》{b，a}...
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设两个数为ad，bd，其中（a，b）=1，d为两个数的最大公约数==》
a-b=30/d （1）
ab-1=450/d （2）
==》ab-1=15（a-b）
==》224=（15+a）（15-b）=32*7
==》{15-b，15+a}={1，32*7}，{2，16*7}，{4，8*7}，{8，4*7}，{14，16}
==》{b，a}={14，32*7-15}，{13，16*7-15}，{11，8*7-15}，{7，4*7-15}，
{1，16-15}。
==》代入（1）得==》{b，a，d}={11，41，1}，{7，13，5}
两个数为{11，41}和{35，65}。
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