数学有关圆的几何题在平行四边形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥BC,以AE为直径作圆,圆心为O,连接CO、DO,如果该圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项（1）求证：CO⊥DO（2）判断直线CD与圆O的位置关系,并证

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 07:57:10

数学有关圆的几何题在平行四边形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥BC,以AE为直径作圆,圆心为O,连接CO、DO,如果该圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项（1）求证：CO⊥DO（2）判断直线CD与圆O的位置关系,并证
数学有关圆的几何题
在平行四边形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥BC,以AE为直径作圆,圆心为O,连接CO、DO,如果该圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项
（1）求证：CO⊥DO
（2）判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的判断

数学有关圆的几何题在平行四边形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥BC,以AE为直径作圆,圆心为O,连接CO、DO,如果该圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项（1）求证：CO⊥DO（2）判断直线CD与圆O的位置关系,并证
（1）
设EC长度为a
由于圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项,则EO=AO=2a,AD=4a
又平行四边形中,EO⊥EC,AO⊥AD,且EC：EO=AO：AD,∴△CEO∽△OAD,
∴角AOD与角EOC互余,∴角DOC=90°,∴CO⊥DO
（2）
CD与圆O相割
原因：可知圆心O到CD的距离小于半径：
设CD中点为P,连结OP.又∵AO=OE,∴OP‖EC‖AD,梯形ECPO∽梯形ECDA,相似比为2
因为圆O半径AO恰好是CE与AD的比例中项,且EO=AO=2a,AD=4a,∴OP=2a
又∵AE与CD不平行,∴CD与圆O相割,两个割点在CP之间

圆的半径AO恰好是CE与AD的比例中项
则三角形OAE与三角形OEC相似
角EOC=90
CO⊥DO
CD与圆O相切
过O作CD垂直线OF
OF=OA

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由题意可知，AD，EC都是圆O的切线，又因为AE是圆O 的直径,所以AE垂直AD，EC
若AO是CE、AD的比例中项那么AO^2=CE*AD
又因为AO=EO
所以AO*EO=CE*AD即AO/EC=AD/EO 又因为角DAO=角OEC 所以三角形DAO相似于三角形OEC
所以角ADO=角EOC 角AOD=角ECO
因为角DAO=90 所以角ADO+角AOD=90即角AOD+角EOC=90 所以角DOC=180-90=90
即CO垂直DO
相切关系
由上面所知三角形EDO相似于三角形EOC且角DAO=角DOC
由相似得：AO/EC=AD/OE=D0/OC即AD/DO=OE/OC=AO/OC 又因为角DAO=角DOC
所以三角形ADO相似于三角形ODC 所以角ADO=角ODC即OD是角ADC的平分线
过点O做DC的垂线交CD于点F，由角平分线定理得:AO=OF
由原点到直线的距离等于圆的半径的直线与圆相切的定理得：DC与圆相切

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