若An+A(n+1)=4n且A1=1,求数列{An}的前n项和Sn

若An+A(n+1)=4n且A1=1,求数列{An}的前n项和Sn
若An+A(n+1)=4n且A1=1,求数列{An}的前n项和Sn

若An+A(n+1)=4n且A1=1,求数列{An}的前n项和Sn
由,An+A(n+1)=4n
可得,n≥2时,A(n-1)+An=4(n-1)
两式相减,得
A(n+1)-A(n-1)=4
所以,n≥2时
数列{An}的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列
由,A1＋A2＝4,A1＝1
可得,A2＝3
设n为偶数,则n-1为奇数
An＝3＋[(n-2)/2+1-1]×4＝2n-1
A(n-1)＝1＋[(n-1-1)/2+1-1]×4＝2n-3
因为,An-A(n-1)＝2
所以,数列An为等差数列,首项A1＝1,公差d＝2
所以,Sn＝(1+2n-1)n/2＝n²

S1＝A1＝1
S(n+1)－Sn＝A(n+1)
Sn－S(n-1)＝An
故，An＋A(n+1)＝S(n+1)－Sn＋Sn－S(n-1)＝S(n+1)－S(n-1)
又已知：An＋A(n+1)＝4n
从而有：S(n+1)－S(n-1)＝4n
n=2时，S3－S1＝8
则：S3＝8＋S1＝8＋1＝9
An+A(n+1)=4n
...

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S1＝A1＝1
S(n+1)－Sn＝A(n+1)
Sn－S(n-1)＝An
故，An＋A(n+1)＝S(n+1)－Sn＋Sn－S(n-1)＝S(n+1)－S(n-1)
又已知：An＋A(n+1)＝4n
从而有：S(n+1)－S(n-1)＝4n
n=2时，S3－S1＝8
则：S3＝8＋S1＝8＋1＝9
An+A(n+1)=4n
n=1时，A1＋A2＝4
则：A2＝4－A1＝4－1＝3
S2=A1+A2=4

Sn=n^2

收起

An+A(n-1)=4(n-1)
An+A(n+1) - （An+A(n-1)）=A(n+1) - A(n-1)=4
A2+A1=4，所以A2=3
那么A2-A1=2
由此可发现，奇数项和偶数项分别是公差4，首相为A1和A2的等差数列，而由于A2-A1=2，那么A(2k+1)-A(2k)=A1+4k-A2-4(k-1)=2，同理A(2k)-A(2k-1)=2，k为自...

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An+A(n-1)=4(n-1)
An+A(n+1) - （An+A(n-1)）=A(n+1) - A(n-1)=4
A2+A1=4，所以A2=3
那么A2-A1=2
由此可发现，奇数项和偶数项分别是公差4，首相为A1和A2的等差数列，而由于A2-A1=2，那么A(2k+1)-A(2k)=A1+4k-A2-4(k-1)=2，同理A(2k)-A(2k-1)=2，k为自然数，那么进而推出，An是公差为2的等差数列
所以Sn=nA1+n(n-1)d /2=n²

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先分别求出当n=1、2、3、4、5、……时，求出a2、a3、……，可以发现：
a1=1、a2=3、a3=5、a4=7、a5=9、…… 那么该数列为从1开始的奇数，
不难求出an=2n-1，将该通项公式代入原式有2n-1 + 2(n+1)-1=4n，符合题意，
所以an为等差数列，公差为2，Sn=na1+n(n-1)*2/2=n^2。...

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先分别求出当n=1、2、3、4、5、……时，求出a2、a3、……，可以发现：
a1=1、a2=3、a3=5、a4=7、a5=9、…… 那么该数列为从1开始的奇数，
不难求出an=2n-1，将该通项公式代入原式有2n-1 + 2(n+1)-1=4n，符合题意，
所以an为等差数列，公差为2，Sn=na1+n(n-1)*2/2=n^2。

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这样做法更简单些：
① 若n是偶数，设 n=2k，k=1,2,3... ，
A（2K） + A（2K-1）= 4（2k-1）= 8k - 4
A（2K-2）+ A（2K-3）= 4（2k-3）= 8（k-1）- 4
……………………………………
A2 + A1 = 4（2*1-1）= 8*1 - 4
累加，得
S（2k）= 8k（k+1）/...

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这样做法更简单些：
① 若n是偶数，设 n=2k，k=1,2,3... ，
A（2K） + A（2K-1）= 4（2k-1）= 8k - 4
A（2K-2）+ A（2K-3）= 4（2k-3）= 8（k-1）- 4
……………………………………
A2 + A1 = 4（2*1-1）= 8*1 - 4
累加，得
S（2k）= 8k（k+1）/2 - 4k = 4k²
即 Sn=n²

② 若n是奇数，设 n=2k+1，k=1,2,3... ，
A（2K+1) + A（2K）= 4（2k）=8 * k
A（2K-1）+ A（2K-2）= 4（2k-2）=8 *（k-1）
……………………………………
A3 + A2 = 4（2*1）
累加，得
S（2k+1）- A1 = 8k（k+1）/2 = 4k²+4k
即 S（2k+1）= 4k²+4k+1 = （2k+1）²
即 Sn=n²

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