作业帮第七题 数列的通向及求和,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:43:32
第七题 数列的通向及求和,
第七题 数列的通向及求和,
第七题 数列的通向及求和,
考察一般项：
√[1+1/k^2 +1/(k+1)^2]
=√{[k^2(k+1)^2+(k+1)^2+k^2]/[k^2(k+1)^2]
=√[k^2(k+1)^2+k^2+2k+1+k^2] /[k(k+1)] /分母已经开根号了,所以平方没有了
=√[k^2(k+1)^2+2k^2+2k+1]/[k(k+1)]
=√[k^2(k+1)^2+2k(k+1)+1]/[k(k+1)]
=√[k(k+1)+1]^2 /[k(k+1)]
=[k(k+1)+1]/[k(k+1)]
=1+ 1/[k(k+1)]
=1+ 1/k -1/(k+1)
√(1+1/1^2+1/2^2)+√(1+1/2^2+1/3^2)+...+√(1+1/100^2+1/101^2)
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+...+(1+1/100-1/101)
=100+(1-1/2+1/2-1/3+...+1/100-1/101)
=100+(1-1/101)
=100- 100/101
=10000/101 /这就是这道题的答案.
推广：
√(1+1/1^2+1/2^2)+√(1+1/2^2+1/3^2)+...+√[1+1/n^2+1/(n+1)^2]
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+...+[1+1/n-1/(n+1)]
=100+[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=100+[1-1/(n+1)]
=101 -100/(n+1)