已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 18:56:30

已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2
已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2

已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2
楼主可以专门百度一下柯西不等式
(X^2+Y^2+Z^2)(1+1+1)>=(x+y+z)^2
即 X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2
根本无需楼上那么复杂

已知 X+Y+Z=a； xyz∈R+ ；设X=a/3+k1；Y=a/3+k2；Z=a/3+k3；k1+k2+k3=0；
则X^2+Y^2+Z^2
=（a/3）^2+2k1(a/3)+k1^2+（a/3）^2+2k2(a/3)+k2^2+（a/3）^2+2k3(a/3)+k3^2
=(1/3)a^2+2(a/3)(k1+k2+k3)+(k1^2+k2^2+k3^3)=(1/3)a^2+0+(k1^2+k2^2+k3^2)
因为(k1^2+k2^2+k3^2)≥0，所以X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2。

∵X^2+Y^2≥2XY,Y^2+Z^2≥2YZ,X^2+Z^2≥2XZ
∴（X+Y+Z）^2=a^2=X^2+Y^2+Z^2+2XY+2XZ+2YZ≤X^2+Y^2+Z^2+X^2+Y^2+Y^2+Z^2+X^2+Z^2
即a^2≤3（X^2+Y^2+Z^2）
得X^2+Y^2+Z^2≥(1/3)a^2

已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2 已知x、y、z∈R＋,求证x⒋+y⒋+z⒋≥(x+y+z)xyz 已知:xyz∈R+且x+y+z=1,求证:(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz该如何证明? 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=8,xyz=5,求证：x,y,z中至少有一个小于1. 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=8,xyz=5,求证：x,y,z中至少有一个小于1 已知x,y,z∈R+.求证(1+x2)(1+y2)(1+z2)≥8xyz 已知xyz∈R+求证:(1+x²)(1+y²)(1+z²)≥8xyz 已知xyz属于R,x+y+z=1,求证x方+y方+z方大于等于1/3 已知x、y、z∈R+,xyz=1,求证：x/(1+xy)+y/(1+yz)+z/(1+zx)≥3/2. 已知x+y+z=0求证x*x*x+y*y*y+z*z*z=3xyz 设x,y,z∈R+.求证:x^4+y^4+z^4≥(x+y+z)xyz 设x,y,z属于R+,求证:x^4+y^4+z^4=(x+y+z)xyz 已知X+Y+Z=0,求证X^3+Y^3+Z^3=3XYZ 已知：x+y+z=0,求证：x^3+y^3+z^3=3xyz 已知：x+y+z=0.求证：x三次+y上次+z三次=3xyz. 已知:x+y+z=0,求证x^3+y^3+z^3=3xyz 已知x^2+y^2+z^2=1,求证x+y+z-2xyz 已知x,y,z∈R+,且x+2y+3z=3,.则xyz的最大值是_____.