复合函数极限运算法则里的条件这个一定要存在么?下面的这个例子不是太懂,这是x*sin(1/x)的图像,那么当x->0的时候,就有两种情况：当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0当当x不等

复合函数极限运算法则里的条件这个一定要存在么?下面的这个例子不是太懂,这是x*sin(1/x)的图像,那么当x->0的时候,就有两种情况：当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0当当x不等
复合函数极限运算法则里的条件

这个

一定要存在么?
下面的这个例子不是太懂,




这是x*sin(1/x)的图像,



那么当x->0的时候,就有两种情况：
当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0
当当x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1
两种情况的极限不等,所以原极限不存在


对比着上面的定理,意思是不是：
1）   所以如果的等号成立,
           x0=1/nπ,那么g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0；


2）  但是如果等号不成立,
      x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1


所以综合一下,只有增加这个条件以后,lim(x->0) f(g(x))=1
是这个意思么?

复合函数极限运算法则里的条件这个一定要存在么?下面的这个例子不是太懂,这是x*sin(1/x)的图像,那么当x->0的时候,就有两种情况：当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0当当x不等
梳理如下：
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”.
例①,ψ(x)=1 (x∈R),
f(u)为分段函数：当u≠1时,f(u)=u；当u=1时,f(u)=2,
取x0=1,则u0=1,【ψ(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2,2≠1,
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A,即定理1的结论不成立.
第二个问题：关于例子x*sin(1/x),
首先,这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x,g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x),
而不是由两个函数的复合构成的.
仅从这一点来说,把这个例子用在这里并不合适.
不过,这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x,f(u)=sinu.
其次,函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0,这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量.
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解.
所以,关于例子x*sin(1/x),无论你取 x等于或不等于1/nπ,只要x→0,它的极限就是0.
对此,原问题中的陈述不正确.
从这一点来说,把这个例子用在这里也不合适.
合适的例子是上面的例①.
第三个问题：细化一下,
在定理1中是说,“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”,
也就是说,是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以.
例如,ψ(x)=sinx (x∈R),
取x0=0,则u0=0,
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立,比如在去心邻域（-1/2π,1/2π）成立】
【而在x0的以远,比如在去心邻域（-2π,2π）,ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”.
如果不存在这样的邻域,则就不符合条件.

x*sin(1/x)
当x不等于1/nπ时，x趋近于0时，此函数的极限并不是1，还是0，因为一个无穷向量乘以一个有界量还是无穷小量
我想，你肯定是把x*sin(1/x)和（sinx）/x搞混淆啦，前者是x趋于无穷大的极限是1，而后者是x趋于0的极限是1

你根本也没有说明白你的f(x)和g(x)是什么？总之你说的不对；对于x*sin(1/x)它的极限就是0，无论你取 x等于或不等于1/nπ时
下面我就给你解释一下为什么要强调ψ(x)≠0,
其实是为了强调ψ(x)不能恒等于u0，否则会出现
如ψ(x)=1 (x∈R),f(x)=2 x=1 ; f(x)为分段函数 则显然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(...

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你根本也没有说明白你的f(x)和g(x)是什么？总之你说的不对；对于x*sin(1/x)它的极限就是0，无论你取 x等于或不等于1/nπ时
下面我就给你解释一下为什么要强调ψ(x)≠0,
其实是为了强调ψ(x)不能恒等于u0，否则会出现
如ψ(x)=1 (x∈R),f(x)=2 x=1 ; f(x)为分段函数 则显然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(ψ(x))=2
=x x≠1 但是lim u→1 f(u)=1≠ lim x→0f(ψ(x))
只要不恒等于u0就可以
如ψ(x)=sin(x),设u0=0,这个就符合这个法则的条件，虽然在（-2π，2π）的去心邻域中存在ψ(x)=u0的点，看似与定义相悖，但是我们可以找到更小的去心邻域如（-1/2π，1/2π）,这就不存在ψ(x)=u0的点，再往深里考虑，对于x0这点只要能够找到一段很小的邻域没有ψ(x)=u0，就符合条件。
同理如果我们能够找到一段x0的去心邻域，ψ(x)恒等于u0，则就不符合条件。

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我想这个问题也想了很久，我的看法是这个条件是这个定理的必要条件，没有这个条件这个定理是不成立的，就比如上面那个举出来的分段函数的反例。这个定理其实关心的是在U0附近的复合函数的取值，至于g（x）=U0时，复合函数的取值则不是这个定理所关心的，因为f（x）可以在这一点连续，不连续，甚至还可以没有意义，这就导致了复合函数在该点需要另外分析。...

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我想这个问题也想了很久，我的看法是这个条件是这个定理的必要条件，没有这个条件这个定理是不成立的，就比如上面那个举出来的分段函数的反例。这个定理其实关心的是在U0附近的复合函数的取值，至于g（x）=U0时，复合函数的取值则不是这个定理所关心的，因为f（x）可以在这一点连续，不连续，甚至还可以没有意义，这就导致了复合函数在该点需要另外分析。

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