已知△ABC周长是根号2+1,且SinA+SinB=根号2SinC,（1）求AB边长；（2）若△ABC面积是6分之1,求角C的度数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 15:27:48

已知△ABC周长是根号2+1,且SinA+SinB=根号2SinC,（1）求AB边长；（2）若△ABC面积是6分之1,求角C的度数
已知△ABC周长是根号2+1,且SinA+SinB=根号2SinC,（1）求AB边长；（2）若△ABC面积是6分之1,求角C的度数

已知△ABC周长是根号2+1,且SinA+SinB=根号2SinC,（1）求AB边长；（2）若△ABC面积是6分之1,求角C的度数
第一个问题：
∵sinA＋sinB＝√2sinC,∴结合正弦定理,容易得到：BC＋AC＝√2AB.······①
又BC＋AC＋AB＝1＋√2.······②
①－②,得：－AB＝√2AB－1－√2,∴（1＋√2）AB＝1＋√2,∴AB＝1.
第二个问题：
∵△ABC的面积＝（1/2）BC×AC×sinC＝1/6,∴BC×AC×sinC＝1/3.······③
将第一个问题的结论代入①,得：BC＋AC＝√2,两边平方,得：
BC^2＋AC^2＋2BC×AC＝2,∴BC^2＋AC^2－AB^2＋2BC×AC＝2－AB^2＝1.
由余弦定理,有：BC^2＋AC^2－AB^2＝2BC×AC×cosC,∴2BC×AC×cosC＋2BC×AC＝1,
∴2BC×AC×sinCcosC＋2BC×AC×sinC＝sinC.······④
将③代入④,得：（2/3）cosC＋2/3＝sinC,∴2＋2cosC＝3sinC,两边平方,得：
4＋8cosC＋（cosC）^2＝9（sinC）^2＝9－9（cosC）^2,
∴10（cosC）^2＋8cosC－5＝0,
∴cosC＝［－8＋√（64＋4×10×5）］/20＝（－8＋2√66）/20＝（－4＋√66）/10.
或cosC＝［－8－√（64＋4×10×5）］/20＝（－8－2√66）/20＝（－4－√66）/10
　　　＜（－4－√64）/10＝（－4－8）/10＝－12/10＜－1.
但在△ABC中,cosC＞－1,∴cosC＝（－4－√66）/10 是不合理的,应舍去.
而（－4＋√66）/10＞（－4＋√64）/10＝（－4＋8）/10＝4/10＝2/5,
又（－4＋√66）/10＜（－4＋√81）/10＝（－4＋9）/10＝5/10＝1/2,
∴2/5＜（－4＋√66）/10＜1/2.　∴cosC＝（－4＋√66）/10 是有意义的.
∴C＝arccos［（－4＋√66）/10］.