大一,单调性证不等式,利用单调性证明下列不等式0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:36:44
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利用单调性证明下列不等式
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证明：构造函数f(x)=(sinx)/x.(x∈[ε,(π/2)-ε],0＜ε＜1).求导得f'(x)=(xcosx+sinx)/x².易知,在[ε,(π/2)-ε]上,恒有f'(x)＞0.∴在[ε,(π/2)-ε]上,函数f(x)递增,∴当x∈[ε,(π/2)-ε]时,恒有f(ε)＜f(x)＜f(π/2-ε).即恒有(sinε)/ε＜(sinx)/x＜[sin(π/2-ε)]/(π/2-ε).令ε-->0+.易知有(sinε)/ε-->1.[sin(π/2-ε)]/(π/2-ε)--->sin(π/2)/(π/2)=2/π.∴在(0,π/2)恒有1＜sinx/x＜2/π.===>2/π＜sinx/x＜1.===>2x/π＜sinx＜x.

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