{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,都有an,(bn)^2,a(n+1)成等差数列,(bn)^2,a(n+1),(b(n+1))^2成等比数列,（1）问{bn}是否为等差数列?为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 09:34:08

${an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,都有an,(bn)^2,a(n+1)成等差数列,(bn)^2,a(n+1),(b(n+1))^2成等比数列,（1）问{bn}是否为等差数列?为什么?$

{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,都有an,(bn)^2,a(n+1)成等差数列,(bn)^2,a(n+1),(b(n+1))^2成等比数列,（1）问{bn}是否为等差数列?为什么?
{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,
{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,都有an,(bn)^2,a(n+1)成等差数列,(bn)^2,a(n+1),(b(n+1))^2成等比数列,（1）问{bn}是否为等差数列?为什么?（2）若a1=1,b1=√2,求Sn＝(1／a1)+(1/a2)+…＋（1／an）

{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,{an},{bn}都是各项为正数的数列,对任意n∈正整数,都有an,(bn)^2,a(n+1)成等差数列,(bn)^2,a(n+1),(b(n+1))^2成等比数列,（1）问{bn}是否为等差数列?为什么?
（1）问{Bn}是否为等差数列?
An,(Bn)^2,A(n+1)成等差数列
2(Bn)^2=An+A(n+1)
(Bn)^2,A(n+1),(B(n+1))^2成等比数列
(A(n+1))^2=(Bn)^2×(B(n+1))^2
{An},{Bn}都是各项为正数
A(n+1)=Bn×B(n+1)
An=B(n-1)×Bn
代入第一个公式
2(Bn)^2=B(n-1)×Bn+Bn×B(n+1)
2Bn=B(n-1)+B(n+1)
{Bn}是等差数列
(2)若A1=1,B1=2^0.5,求Sn=(1/A1)+(1/A2)+……+(1/An)
2(Bn)^2=An+A(n+1)
A(n+1)=2(Bn)^2-An
A2=2(B1)^2-A1=2(2^0.5)^2-1=3
A(n+1)=Bn×B(n+1)
B(n+1)=A(n+1)÷Bn
B2=A2÷B1=3÷2^0.5=3(2^0.5)/2
{Bn}是等差数列
d=B2-B1=3(2^0.5)/2-2^0.5=(2^0.5)/2
Bn=(2^0.5)+(n-1)×(2^0.5)/2=(n+1)×(2^0.5)/2
An=B(n-1)×Bn
=n×(2^0.5)/2×(n+1)×(2^0.5)/2
=n×(n+1)/2
Sn=(1/A1)+(1/A2)+……+(1/An)
=2/(1×2)+2/(2×3)+……+(2/(n×(n+1)))
=2×[(2-1)/(1×2)+(3-2)/(2×3)+……+((n+1)-n)/(n×(n+1)))]
=2×[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+……+(1/n-1/(n+1))]
=2×[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)