作业帮数a恰有4个约数,这些约数之和等于2040,求数a是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:26:44
数a恰有4个约数,这些约数之和等于2040,求数a是多少?
数a恰有4个约数,这些约数之和等于2040,求数a是多少?
数a恰有4个约数,这些约数之和等于2040,求数a是多少?
首先判断数a不可能只有一个质因数,不然的话,它只有一个质因数m,于是它的四个约数分别是1、m、m^2、m^3,由于13^3＝2197＞2040,而1＋11＋11^2＋11^3＝1464,故不存在只有一个质因数的数a
其次,数a不可能有三个或三个以上的质因数,否则它不只有四个约数
于是可知数a只有两个质因数,不妨设这两个质因数分别为m、n(m＜n),且a＝mn
因此数a的所有约数的和等于(m＋1)(n＋1)＝2040＝2^3×3×5×17
若m＝2,则m＋1＝3,n＋1＝680,得n＝679是合数,不合
因此m＋1、n＋1都是偶数,容易验证：
当m＋1＝4,n＋1＝510,得：m＝3,n＝509,数a＝1527；
当m＋1＝6,n＋1＝340,得：m＝5,n＝339是合数,不合；
当m＋1＝10,n＋1＝204,得：m＝9是合数不合；
当m＋1＝34,n＋1＝60,得：m＝33是合数不合；
当m＋1＝12,n＋1＝170,得：m＝11,n＝169是合数,不合；
当m＋1＝20,n＋1＝102,得：m＝19,n＝101,数a＝1919；
当m＋1＝30,n＋1＝68,得：m＝29,n＝67,数a＝1943
即所求的数有三个：1527、1919、1943
1919
约数分别为 1， 19，101，1919
设a的约数只有1，b，c，a。（b,c均为质数）
a+b+c+1=2040，b×c=a
b+c+bc+1=2040
(b+1)(c+1)=2040=2×2×2×3×5×17
当b=3,19,29时，符合题意，c=509,101,67。
a=1527；1919；1943。