立体几何,求教.在长方体ABCD-A1B1C1D1中O是底面对角线的交点,M为AB中点,P是棱AA1上的懂点,已知AB=2,AA1=3,问P运动到什么位置是,直线AB1与平面POM垂直?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 13:18:46
立体几何,求教.在长方体ABCD-A1B1C1D1中O是底面对角线的交点,M为AB中点,P是棱AA1上的懂点,已知AB=2,AA1=3,问P运动到什么位置是,直线AB1与平面POM垂直?

立体几何,求教.在长方体ABCD-A1B1C1D1中O是底面对角线的交点,M为AB中点,P是棱AA1上的懂点,已知AB=2,AA1=3,问P运动到什么位置是,直线AB1与平面POM垂直?
立体几何,求教.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中O是底面对角线的交点,M为AB中点,P是棱AA1上的懂点,已知AB=2,AA1=3,问P运动到什么位置是,直线AB1与平面POM垂直?

立体几何,求教.在长方体ABCD-A1B1C1D1中O是底面对角线的交点,M为AB中点,P是棱AA1上的懂点,已知AB=2,AA1=3,问P运动到什么位置是,直线AB1与平面POM垂直?
解析:
连结PM交AB1于点E
若直线AB1与平面POM垂直,则由线面垂直的定义可知:
直线AB1与平面POM内的任意直线都垂直!
由此可得AB1⊥PM
则易知Rt△AME ∽ Rt△AB1B (AA)
且Rt△APE ∽ Rt△AB1A1 (AA)
所以AE/AB=AM/AB1 (1)
且AE/AA1=AP/AB1 (2)
因为AB=2,AA1=3,则AM=1,AB1=√13
所以由(1)式得:AE/2=1/√13,即AE=2/√13
由(2)式得:AP=AE*AB1/AA1=(2/√13)*√13/3=2/3
这就是说当点P运动到距点A的长为2/3时,直线AB1与平面POM垂直.
验证如下:
当点P运动到距点A的长为2/3时,
首先由相似三角形可得:直线AB1⊥PM
因为O是底面对角线的交点,M为AB中点
所以易得MO//AD
又AD⊥平面ABB1A1,则MO⊥平面ABB1A1
因为直线AB1在平面ABB1A1内
所以MO⊥AB1
则由直线AB1垂直于平面POM内的两条相交直线PM和MO可知:
此时直线AB1与平面POM垂直.

至AA1中点,由中位线平行即可证

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