作业帮线性代数一条关于特征值定理的证明求解如果λ1,λ2.λn是矩阵A的互不相同的特征值,a1,a2,.am分别是与之对应的特征向量,则a1,a2,.am线性无关求证明推导
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 22:13:10
线性代数一条关于特征值定理的证明求解如果λ1,λ2.λn是矩阵A的互不相同的特征值,a1,a2,.am分别是与之对应的特征向量,则a1,a2,.am线性无关求证明推导
线性代数一条关于特征值定理的证明求解
如果λ1,λ2.λn是矩阵A的互不相同的特征值,a1,a2,.am分别是与之对应的特征向量,则a1,a2,.am线性无关
求证明推导
线性代数一条关于特征值定理的证明求解如果λ1,λ2.λn是矩阵A的互不相同的特征值,a1,a2,.am分别是与之对应的特征向量,则a1,a2,.am线性无关求证明推导
设x1a1+x2a2+...+xnan=0,证明系数x1=x2=...=xn=0.
A(x1a1+x2a2+...+xnan)=λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan)=0.
A^2(x1a1+x2a2+...+xnan)=A(λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan))=λ1^2(x1a1)+λ2^2(x2a2)+...+λn^2(xnan)=0.
.
λ1^(n-1)(x1a1)+λ2^(n-1)(x2a2)+...+λn^(n-1)(xnan)=0.
以x1a1,x2a2,...,xnan为未知量,方程组
x1a1+x2a2+...+xnan=0
λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan)=0
λ1^2(x1a1)+λ2^2(x2a2)+...+λn^2(xnan)=0
.
λ1^(n-1)(x1a1)+λ2^(n-1)(x2a2)+...+λn^(n-1)(xnan)=0
的系数矩阵是范德蒙特行列式,非零,所以方程组只有零解,得x1a1=0,x2a2=0,...,xnan=0,所以x1=x2=...=xn=0.
所以a1,a2,.am线性无关.
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