作业帮证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:29:41
![证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0](/uploads/image/z/10754921-65-1.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%85%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E8%AE%BEf%28x%29%2Cg%28x%29%E4%BB%A52pi%E4%B8%BA%E5%91%A8%E6%9C%9F%2C%E4%B8%94%E5%9C%A8%5B-pi%2Cpi%5D%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E7%A7%AF%2C%E8%AF%81%E6%98%8Ef%2Cg%E7%9A%84%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%85%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AF%7Cf%28x%29-g%28x%29%7C+%E4%BB%8E-pi%E5%88%B0pi%E7%9A%84%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%3D0)
证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件
设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是
|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0
首先命题等价于:在[-π,π]可积的2π周期函数f(x),Fourier系数全为0的充要条件是∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
充分性很容易:0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
故所有Fourier系数全为0.
必要性用Parseval恒等式:由f(x)在[-π,π]可积,|f(x)|²也在[-π,π]可积.
并成立Parseval恒等式:∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).
由f(x)的Fourier系数全为0,可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.
再由Cauchy不等式:(∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.
即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.