求高数题答案,附带详细过程,谢谢!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 03:15:44

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19.令g(x)=2x-∫f(t)dt-1
g(0)=-1
g(1)=1-∫f(t)dt
由定积分基本定理,有∫f(t)dt=(1-0)f(ζ)=f(ζ),其中ζ∈[0,1]
故∫f(t)dt0
而g'(x)=2-f(x)>1,即g(x)单调递增
因此g(x)在(0,1)上有且只有一个零点
20.根据题意,首先f(x)在x=0的左右极限都存在且为0
故n>0
然后f'(x)=nx^(n-1)cos(1/x)-x^(n-2)sin(1/x)
=x^(n-3)[nx^2cos(1/x)-xsin(1/x)]
注意到f'(x)在x=0的极限存在,故有x-3≥0
因此x≥3
21.令x^2-t^2=u,t^2=x^2-u
∫tf(x^2-t^2)dt
=1/2∫f(u)d(x^2-u)
=-1/2∫f(u)du
所以d[∫tf(x^2-t^2)dt]/dx=-1/2f(x)

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