如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 08:41:50
如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.

如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.
如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.

如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC.
作AH⊥BC交BC于H,不妨设点H在B,D之间,由BD=CD知CD*HD-HD*BD=0,
所以BD^2-BD*HD+HD*CD+CD^2=BD^2+CD^2,即得
BD(BD-HD)+CD(CD+HD)=BD^2+CD^2,即得
BD*BH+CD*CH=BD^2+CD^2 由AH⊥BD,DE⊥AB,DF⊥AC
可知 △BDE∽△BAH,△CDF∽△CAH,所以可得
BD*BH=BE*BA,CD*CH=CF*CA 带入上式即得
BE*BA+CF*CA=BD^2+CD^2,而BD^2=BE^2+DE^2,CD^2=CF^2+DF^2 带入得
BE*(BA-BE)+CF*(CA-CF)=DE^2+DF^2,即BE*AE+CF*AF=DE^2+DF^2
再由DE^2=AD^2-AE^2,DF^2=AD^2-AF^2,继续带入得
(BE+AE)*AE+(CF+AF)*AF=2AD^2,即证2AD^2=AE*AB+AF*AC

∵AD为△ABC的中位线∴△ABD的面积=△ADC的面积,∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴1/2AB*DE=1/2AC*DF,(3) AD²=AF²+DF²=AF²+DC²+FC²(1)同理 AD²=AE²+BE²+BD²(2)
(1)+(2)式得2AD²=AE²+...

全部展开

∵AD为△ABC的中位线∴△ABD的面积=△ADC的面积,∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴1/2AB*DE=1/2AC*DF,(3) AD²=AF²+DF²=AF²+DC²+FC²(1)同理 AD²=AE²+BE²+BD²(2)
(1)+(2)式得2AD²=AE²+BE²+BD²+AF²+DC²+FC²再由(3)一起化简就可证得结论

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如图,AD为△ABC的中位线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:2AD2=AE×AB+AF×AC. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.求证:(1)DE/CE =AD/CD; 已知:如图,AD是△ABc的角平分线,DE⊥AB,DF⊥Ac,垂足分别为E、F.求证:AD垂直平分EF. 如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,试说明E,F关于AD对称 如图AD为△ABC的角平分线DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则E.F一定关于直线AD对称.为什么? 如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,若AB=5,AC=3△ABC的面积为16,求DE长? 如图,AD是△ABC的角平分线,DE‖AC,DF‖AB,求证AD⊥EF 如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是28,AB=20,AC=8求DE的长. 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F△ABC的面积是28m²AB=15 AC=13 求DE的长 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,DE⊥AB,DF⊥AC,垂直分别为E,F求证:DE=DF 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28㎡,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长. 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥于F,△ABC面积是28平方厘米,AB=16cm,AC=12cm,求DE的长 如图△ABC中AD为∠BAC的平分线DE⊥AB于EDF⊥AC于F△ABC面积是28cm²AB=20cmAC=8cm求DE的长 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 如图,在△ABC中,AD为角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=10cm,AC=8cm,DE=4cm,求△ABC的面积 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28 ,AB=16cm,AC=12cm,求DE长 如图在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,DE长?如图,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,DE的长是?(图片网址) 如图,在△ABC中,AD⊥AB,AD=AB,AE⊥AC,AE=AC,M为BC中点 求证:2AM=DE