作业帮n≥2时 求证2的n+1次方≥n2+n+2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:27:06
n≥2时 求证2的n+1次方≥n2+n+2
n≥2时 求证2的n+1次方≥n2+n+2
n≥2时 求证2的n+1次方≥n2+n+2
（用数学归纳法证明,以下是证明过程的格式）
证：当n=2时,左边=2^3 = 8,右边=2²+2+2 = 8,∴左边=右边
当n=3时,左边=2^4 = 16,右边=3²+3+2 = 14,∴左边＞右边
当n=4时,左边=2^5 = 32,右边=4²+4+2 = 22,∴左边＞右边
由此猜想,
当n=k时,2^(k+1) ≥ k²+k+2 成立,其中k∈N+,且k ≥ 2
当n=k+1时,
左边= 2^(k+1+1) = 2*2^(k+1) ≥ 2(k²+k+2) = (k² +2k + 4) + k²
右边= (k+1)² + (k+1) + 2 = (k² + 2k + 4) + k
∵k≥2,∴k² ≥ k
∴(k² +2k + 4) + k² ≥ (k² + 2k + 4) + k
即,2^(k+1+1) ≥ (k+1)² + (k+1) + 2
即,当n=k+1时,原猜想仍成立.
综上所述,2^(n+1) ≥ n²+n+2对于任意n∈N+ 且n≥2 恒成立.
多种做法：（1）作差，构造函数，判断单调性，然后令x=n，进行判断；
（2）数学归纳法；
（3）二项式展开式；
（4）几何作图。
下面用方法3，过程如下：
原不等式等价于：2^n=(1+1)^n ≥(n^2+n+1)/2 n≥3
将(1+1)^n展开，取前3项（n≥3），而前3项整...
全部展开
多种做法：（1）作差，构造函数，判断单调性，然后令x=n，进行判断；
（2）数学归纳法；
（3）二项式展开式；
（4）几何作图。
下面用方法3，过程如下：
原不等式等价于：2^n=(1+1)^n ≥(n^2+n+1)/2 n≥3
将(1+1)^n展开，取前3项（n≥3），而前3项整理后即为等式右边的结果.所以不等式成立.
收起