级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性.

级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性.
级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性.

级数∑[x+n(-1)^n]/[x^2+n^2]在x的定义域R上的收敛性和一致收敛性、和函数的连续性.
①对任意A > 0,级数在[-A,A]上一致收敛.
一方面,对|x| ≤ A,|x/(x²+n²)| = |x|/(x²+n²) ≤ A/n².
根据Weierstrass判别法,由∑A/n²收敛可知∑x/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
另一方面,对|x| ≤ A,当n > A时n/(x²+n²)关于n单调递减.
且由n/(x²+n²) ≤ 1/n,其一致收敛到0.
又∑(-1)^n部分和一致有界,根据Dirichlet判别法,∑(-1)^n·n/(x²+n²)在[-A,A]上一致收敛.
于是∑(x+(-1)^n·n)/(x²+n²)也在[-A,A]上一致收敛.
②由级数的各项在[-A,A]连续,级数在[-A,A]一致收敛.
可知和函数在[-A,A]连续,由A的任意性,和函数在R上连续.
③级数在R上不是一致收敛的.
对ε = 1/8,任意N > 0,存在正整数k使2^k > N.
考虑部分和∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²)在x = 2^(k+1)处的取值.
当n为奇数,有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x-n)/(x²+n²) > 0.
当n为偶数,有(x+(-1)^n·n)/(x²+n²) = (x+n)/(x²+n²) > 2^(k+1)/(2^(2k+2)+2^(2k+2)) = 1/2^(k+2).
[2^k,2^(k+1))中共有2^(k-1)个偶数,因此在x = 2^(k+1)处:
∑{2^k ≤ n < 2^(k+1)} (x+(-1)^n·n)/(x²+n²) > 2^(k-1)·1/2^(k+2) = 1/8 = ε.
根据Cauchy收敛准则,级数在R上不一致收敛.