作业帮已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和S
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 22:32:21
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和S
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81
（1）求数列的前三项a1,a2,a3；
（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；
（3）求数列{an}的前n项和S
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和S
an=2a(n-1)+2^n-1
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1) +1-1/2^n
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1-1/2^n
a2/2^2-a1/2=1-1/2^2
a3/2^3-a2/2^2=1-1/2^3
...
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1-1/2^n
左右两边分别相加：
an/2^n-a1/2=(n-1)-[1/2^2+..+1/2^n]
an/2^n=a1/2+(n-1)-1/2^2*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=a1/2+(n-1)-(1/2-1/2^n)
=a1/2+n-3/2+1/2^n
a1=5 (a4求a3-a2-a1,
an=(n+1)*2^n+1
Sn=a1+a2+..+an=n+2^1+2^2+..+2^n+1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
=n+2*(1-2^n)/(1-2)+1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
bn=1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
2bn=1*2^2+.+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
相减：
-bn=2+2^2+.+2^n-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
bn=-2*(1-2^n)/(1-2)+n*2^(n+1)
Sn=n+n*2^(n+1)
(1)令n=4，a4=2a3+16-1
a3=33 类似可以退出：a2=13 a1=5
(2)用待定系数法：(an+p)/2^n=(a(n-1)+p)/2^(n-1)+k(k为常数)
推导得：an=2a(n-1)+p+k*2^n
比较系数得：p=-1,k=1
(3)不妨设bn=(an-1)/2^n
由(2)可得：bn=b(n-1)+1=b1...
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(1)令n=4，a4=2a3+16-1
a3=33 类似可以退出：a2=13 a1=5
(2)用待定系数法：(an+p)/2^n=(a(n-1)+p)/2^(n-1)+k(k为常数)
推导得：an=2a(n-1)+p+k*2^n
比较系数得：p=-1,k=1
(3)不妨设bn=(an-1)/2^n
由(2)可得：bn=b(n-1)+1=b1+(n-1)
b1=(a1-1)/2=2
所以bn=n+1
故n+1=(an-1)/2^n
an=(n+1)*2^n+1
Sn=2*2^1+3*2^2+4*2^3+···+(n+1)*2^n+n
(下面用到错位相减)
2Sn= 2*2^2+3*2^3+···+ n*2^n+(n+1)*2^(n+1)+2n
两式相减：
Sn=-(4+2^2+2^3+···+2^n)+(n+1)*2^(n+1)+n
整理得：
Sn=n*(2(n+1)+1)
(n>=1)
收起