作业帮正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AA1的中点,点O是BD1的中点,求OM的长大家有各类的好方法,教教我吧
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 13:03:53
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方法一：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,又O是BD1的中点,∴O是正方体ABCD－A1B1C1D1的中心,
显然,AA1、CC1是关于点O对称的.
令CC1的中点为N.
∵M、N分别是AA1、CC1的中点,∴M、N关于点O对称,∴O是MN的中点,∴OM＝MN/2.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴MA∥NC、AA1＝CC1,而MA＝AA1/2、NC＝CC1/2,
∴MA＝NC.
由MA∥NC、MA＝NC,得：ACNM是平行四边形,∴MN＝AC,结合证得的OM＝MN/2,得：
OM＝AC/2.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴ABCD是正方形,∴AC＝√2AB＝√2,∴OM＝√2/2.
方法二：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴ABCD是正方形,∴BD＝√2AB＝√2.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥BD,
∴BD1^2＝DD1^2＋BD^2＝1＋2＝3, ∴BO^2＝（BD1/2）^2＝3/4.
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体,∴∠D1A1M＝∠BAM＝90°,而A1M＝AM＝1/2,
∴MD1^2＝A1D1^2＋A1M^2＝1＋1/4＝5/4, MB^2＝AB^2＋AM^2＝1＋1/4＝5/4.
∴MD1＝MB,又BO＝D1O,∴OM⊥BO,∴OM^2＝MB^2－BO^2＝5/4－3/4＝1/2,
∴OM＝√2/2.