作业帮已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点中点P的坐标(x0,y0)2x0=x1+x22y0=y1+y2x1^2+y1^2=9.1式x2^2+y2^2=9.2式2-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:32:27
已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点中点P的坐标(x0,y0)2x0=x1+x22y0=y1+y2x1^2+y1^2=9.1式x2^2+y2^2=9.2式2-1
已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.
设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)
与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点
中点P的坐标(x0,y0)
2x0=x1+x2
2y0=y1+y2
x1^2+y1^2=9.1式
x2^2+y2^2=9.2式
2-1式
(x2+x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0
(x2+x1)(x2-x1)+k(x2-x1)(y1+y2)=0
当x1≠x2时
(x2+x1)+k(y1+y2)=0
2x0+2ky0=0
k=-x0/y0
因为中点也在直线上
直线斜率k=(y0-2)/(x0-1)
所以通过中间参数k,得到等式
-x0/y0=(y0-2)/(x0-1)
即
-x/y=(y-2)/(x-1)
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
是个圆
当x1=x2,也满足(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
所以综上
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
为什么要2式-1式?这么做的意义是?（本人学渣……先谢谢各位了）
已知圆o的方程为x^2+y^2=9 求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点中点P的坐标(x0,y0)2x0=x1+x22y0=y1+y2x1^2+y1^2=9.1式x2^2+y2^2=9.2式2-1
如果参加高考,这样解题,就没有希望了,奥林匹克高手告诉你简单的方法啦
高考方法一：
P(x,y)
OP⊥弦AB
k(OP)*k(AB)=-1
(y/x)*(y-2)/(x-1)=-1
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
方法二：
P(x,y),弦AB
xA+xB=2x,yA+yB=2y
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-2)/(x-1)
(xA)^2+(yA)^2=9.(1)
(xB)^2+(yB)^2=9.(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2y*(y-2)/(x-1)=0
x^2-x+y^2-2y=0
(x-0.5)^2+(y-1)^2=1.25
如果奥林匹克高手这样解都看不明白,那你要改文科了.
设直线斜率为k P（x，y）弦AB A（x1，y1） B（x2，y2）x1＾2＋y1＾2＝9x2＾2＋yy＾2＝9 相减（x1＋x2）（x1－x2）＋（y1＋y2）（y1－y2）＝0x1＋x2＝2x y1＋y2＝2y （y1－y2）＆＃47；（x1－x2）＝k所以 2x＋2yk＝0 x＋ky＝0k＝（y－2）＆＃47；（x－1）x＋y（y－2）＆＃47...
全部展开
设直线斜率为k P（x，y）弦AB A（x1，y1） B（x2，y2）x1＾2＋y1＾2＝9x2＾2＋yy＾2＝9 相减（x1＋x2）（x1－x2）＋（y1＋y2）（y1－y2）＝0x1＋x2＝2x y1＋y2＝2y （y1－y2）＆＃47；（x1－x2）＝k所以 2x＋2yk＝0 x＋ky＝0k＝（y－2）＆＃47；（x－1）x＋y（y－2）＆＃47；（x－1）＝0x＾2－x＋y＾2－2y＝0圆的弦的中点P的轨迹为 x＾2－x＋y＾2－2y＝0
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