椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4（1）求证：PF1⊥PF2（2）若△OPF1的面积为3,求椭圆方程

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 19:17:49

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4（1）求证：PF1⊥PF2（2）若△OPF1的面积为3,求椭圆方程
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,
P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4
（1）求证：PF1⊥PF2
（2）若△OPF1的面积为3,求椭圆方程

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4（1）求证：PF1⊥PF2（2）若△OPF1的面积为3,求椭圆方程
根据两直线夹角公式,
tan<OPF2=(k2-k1)/(1+k1k2)
=(-3/4+24/7)/[1+(-24/7)*(-3/4)=3/4,
tan<PF2=-tan<PF2X=3/4,
∴〈OPF2=〈PF2O,
∴△OPF2是等腰△,
∴|OP|=|OF2|=|OF1|,
∴F1、P、F2是以O为圆心以半焦距为半径的圆上,
而F1F2是直径,
∴〈F1PF2=90°,即PF1⊥PF2.
2、〈F1OP=2〈PFO,(三角形外角等于不相邻二内角之和）,
设〈OF2P=θ,是〈PF2X的补角,正切取正,
tanθ=3/4,secθ=√（1+9/16）=5/4,（锐角取正）,
以cosθ=4/5,
sinθ=3/5,
sin2θ=2sinθcosθ=2*(3/5)*(4/5)=24/25,
S△POF1=|PO|*|OF1|*sin<POF1/2
=c^2*(24/25)/2=12c^2/25=3,
c^2=25/4,
c=5/2,
根据勾股定理,
PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|=F1F2^2,
|PF1|+|PF2|=2a,
4a^2-2|PF1||PF2|=(5/2*2)^2=25,(1)
P点纵坐标,y0=OPsin2θ=(5/2)*(24/25)=12/5,
S△PF1F2=|F1F2|*y0/2=|PF1||PF2|/2,
5*12/5=|PF1||PF2|
|PF1||PF2|=12,
回到（1）式,4a^2-2*12=25,
4a^2=49,
a^2=49/4,
b^2=a^2-c^2=6
∴椭圆方程为：4x^2/49+y^2/6=1.

﹙1﹚设P﹙X，Y﹚，由OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4有Y／X＝-24/7，Y／﹙X－C﹚＝-3/4
解出X＝﹙﹣7C﹚／25，Y＝24C／25。又向量F1P＝﹙X＋C，Y﹚，F2P＝﹙X－C，Y﹚所以
向量F1P乘以向量F2P＝﹙X＋C，Y﹚·﹙X－C，Y﹚＝X^2﹣C^2＋Y^2＝0即PF1⊥PF2。
﹙2﹚由1有△OPF1的面积＝OF1×|Y|÷2＝C×...

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1 设F1、F2坐标为（-c,0）（c,0) P（x,y)
根据斜率得到 y-c=-3/4x y= -24/7x
解得 x=-7c/25 y=24c/25
代入PF1的斜率k=y/(x+c) 得到 k=4/3 与PF2斜率-3/4互为倒数，所以两线垂直。
2 OPF1的底为c，高为P的纵坐标y，所以面积1/2cy=...

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1 设F1、F2坐标为（-c,0）（c,0) P（x,y)
根据斜率得到 y-c=-3/4x y= -24/7x
解得 x=-7c/25 y=24c/25
代入PF1的斜率k=y/(x+c) 得到 k=4/3 与PF2斜率-3/4互为倒数，所以两线垂直。
2 OPF1的底为c，高为P的纵坐标y，所以面积1/2cy=3 cy=6 把y=24c/25代入，c=5/2
x=-7/10 y=12/5 即为P点坐标，利用P点坐标和c的值即可求椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
且a^2=b^2+c^2
解方程组的活就留给你了，受累！

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