作业帮四边形ABCD是正方形,其对角线AC、BD交于点O,点P为AD边上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,M是AD的中点,连接OE、OF.如图,当四边形ABCD为矩形时,求证ME=MF.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 01:28:53
四边形ABCD是正方形,其对角线AC、BD交于点O,点P为AD边上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,M是AD的中点,连接OE、OF.如图,当四边形ABCD为矩形时,求证ME=MF.
四边形ABCD是正方形,其对角线AC、BD交于点O,点P为AD边上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,M是AD的中点,连接OE、OF.
如图,当四边形ABCD为矩形时,求证ME=MF.
四边形ABCD是正方形,其对角线AC、BD交于点O,点P为AD边上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,M是AD的中点,连接OE、OF.如图,当四边形ABCD为矩形时,求证ME=MF.
（1）如图1,求证ME=MF
（2）如图2,当四边形ABCD为矩形时,其他条件不变,上述结论还成立吗?如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由.
夏· 回答:2 人气:27 解决时间:2010-06-27 16:51
50%
连接OM,容易证明MOF与MAE全等.
在正方形中易知：∠MAE = ∠MOF = 45度.
∠AOD = 90度,且M是中点,所以：MO = MA
PEOF是矩形,所以,PE = OF
AEP是等腰直角三角形,所以：PE = AE 从而有：AE = OF
有了上面加黑的三个条件,它们就全等了
在第二问中,APH = ADO （两直线平行,同位角相等）
ADO = PAE （矩形中,OA=OD,等边对等角）
所以：APH = PAE
有问题追问……
不好意思，我对数学没兴趣。。。帮不了你，对不起咯。。。。
连接OM，由于PE⊥AC，PF⊥BD，故四边形PEOF为长方形，PE=OF，而∠EAP=45°，PE⊥AE，三角形AEP为等腰直角三角形，AE=PE=OF。又三角形AMO为等腰直角三角形，故AM=OM，∠EAM=∠FOM=45°，由边角边知，三角形AEM全等于OFM，故ME=MF。
头疼啊……
PE⊥AC，PF⊥BD所以点O，E，P，F共圆，且OP为直径，又因为OM⊥PM，所以点M也在圆上；
由EFMP共圆可得出，∠MEF=∠MPF，∠APE=∠PEM+∠PME=∠PFM+∠PFE=∠EFM；
依题意易证△APE相似于△DPF，所以∠APF=∠MPF；
所以∠MEF=∠MFE，所以△MEF是等腰三角形，所以ME=MF。...
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PE⊥AC，PF⊥BD所以点O，E，P，F共圆，且OP为直径，又因为OM⊥PM，所以点M也在圆上；
由EFMP共圆可得出，∠MEF=∠MPF，∠APE=∠PEM+∠PME=∠PFM+∠PFE=∠EFM；
依题意易证△APE相似于△DPF，所以∠APF=∠MPF；
所以∠MEF=∠MFE，所以△MEF是等腰三角形，所以ME=MF。
收起
去问问老师啊 笨蛋