求高手解决有关离散数学（群,陪集）的一道题,如下设H是群G的子群,证明：H在G中的所有左和右陪集中有且只有一个子群.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 03:22:42
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求高手解决有关离散数学（群,陪集）的一道题,如下
设H是群G的子群,证明：H在G中的所有左和右陪集中有且只有一个子群.

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这是很明显的,G的左陪集分解
G=eH∪a1H∪a2H…∪akH=H∪a1H∪a2H…∪akH
是G的一个划分,在这些左陪集中只有H含有幺元e,故H是仅有一个子群.
不利用上面的结果再给出一个证明：
证明设a是G中任意元,aH是G的关于子群H的一个左陪集,如果aH是子群,则幺元e属于aH,即存在H中的元h,e=ah,a=h^-1,H是子群,故a也属于H,于是对任意H中的元h有ah属于H,即aH包含于H,对任意H中元h,h=aa^-1h,由于a^-1h属于H,H包含于aH,故aH=H.

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