G是三角形ABC的重心,且AD丄BE于G,已知BC等于a,AC等于b,求AB的长.有图最好！

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 18:04:11

G是三角形ABC的重心,且AD丄BE于G,已知BC等于a,AC等于b,求AB的长.有图最好！
G是三角形ABC的重心,且AD丄BE于G,已知BC等于a,AC等于b,求AB的长.
有图最好！

G是三角形ABC的重心,且AD丄BE于G,已知BC等于a,AC等于b,求AB的长.有图最好！
AD、BE都是中线吗?
根据三角形重心的性质,
AG=2AD/3,DG=AD/3,
BG=2BD/3,EG=BD/3,
∵AD⊥BE,
∴△ABG、△BDG和△AEG均是RT△,
根据勾股定理,
AB^2-BG^2=AG^2,
AE^2-DG^2=AG^2,
设AB=c,
c^2-(2BE/3)^2=(b/2)^2-(BE/3)^2,
c^2=b^2/4+BE^2/3,(1)
BD^2=BG^2+DG^2,
(a/2)^2=(AD/3)^2+(2BE/3)^2,(2)
在RT△AGE中,（2AD/3）^2=b^2/4-BE^2/9,
AD^2=(9/4)(b^2/4-BE^2/9),(3)
由（3）式代入（2）式,
a^2/4=(9/4)(b^2/4-BE^2/9)/9+4BE^2/9,
BE^2=(12/5)(a^2-b^2/16),(4)
代入（1）式,
c^2=b^2/4+(1/3)*(12/5)(a^2-b^2/16)
=b^2/4+4a^2/5-b^2/20=4a^2/5+b^2/5,
∴AB=c=(1/5)√（20a^2+5b^2)

设DG=m,EG=n,则AG=2m,BG=2n.因为G为重心，所以AD,BE为三角形ABC的两条中线，即点D,E分别为BC,AC的中点，所以BD=1/2BC=1/2a,AE=1/2AC=1/2b.利用勾股定理，2n的平方加m的平方=1/2a的平方，2m的平方加n的平方=1/2b的平方。
整理得5(m方+n方)=1/4*（a方+b方）。则4(m方+n方)=1/5(a方+b方).所以AB=根号...

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