作业帮已知数列an满足a1=6,an+1-an=2n,记cn=an/n,且存在正整数M,使得对一切n∈N*,cn≥M恒成立,则M的最大值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:57:56
已知数列an满足a1=6,an+1-an=2n,记cn=an/n,且存在正整数M,使得对一切n∈N*,cn≥M恒成立,则M的最大值为?
已知数列an满足a1=6,an+1-an=2n,记cn=an/n,且存在正整数M,使得对一切n∈N*,cn≥M恒成立,则M的最大值为?
已知数列an满足a1=6,an+1-an=2n,记cn=an/n,且存在正整数M,使得对一切n∈N*,cn≥M恒成立,则M的最大值为?
a(n+1)-an=2n
an-a(n-1) = 2(n-1)
an -a1= 2(2-1) + 2(3-1)+...+2(n-1)
= n(n-1)
an = n^2-n +6
cn=an/n
= (n+6/n)-1
>= 5-1=4
M =4
an=a(n-1)+2(n-1)
a(n-1)=a(n-2)+2(n-2)
……
a2=a1+2
所以an=a1+2+4+6+……+2(n-1)=a1+(n-1)n=n^2-n+6
cn=n+6/n-1
设f(x)=x+6/x-1(x>0)
当x=√6是，f(x)有最小值f(√6)=2√6-1
又f(2)=4,f(3)=4
所以{cn}的最小值为c2=c3=4
所以M的最大值为4
a2-a1=2
a3-a2=4
........
an-a(n-1)=2(n-1)
所有等式相加
an-a1=2+4+....+2(n-1)=n(n-1)
an=n(n-1)+6
cn=an/n=n+6/n-1
对应函数f(x)=x+6/x-1>=2√x*6/x-1=2√6-1（x>0)在x=6/x处,取最小值即x=2.449
cn在n=2或n=3时取最小值
c2=c3=4
cn≥4,由题意知：M的最大值为4
先用累加法求数列通项
a{n}=（a{n}-a{n-1})+(a{n-1}-a{n-2})+...+(a{2}-a{1})+a{1})=2(n-1)+2(n-2))+2(n-3)+...+2+6=n2-n+6
∴c{n}=n+6/n-1≥2根号{n·6/n}-1
如果注意到n∈N*,则c{n}≥4，故M的最大值为4