已知A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1和双曲线x²/a²-y²/b²=1的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且满足AP+BP=λ（AQ+BQ）.设直线AP,BP,AQ.BQ的斜率分别为k1,k2,k3,k4.（1

已知A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1和双曲线x²/a²-y²/b²=1的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且满足AP+BP=λ（AQ+BQ）.设直线AP,BP,AQ.BQ的斜率分别为k1,k2,k3,k4.（1
已知A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1和双曲线x²/a²-y²/b²=1的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且满足AP+BP=λ（AQ+BQ）.设直线AP,BP,AQ.BQ的斜率分别为k1,k2,k3,k4.
（1）求证：O,P,Q三点共线；
（2）求k1+k2+k3+k4的值.

已知A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1和双曲线x²/a²-y²/b²=1的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且满足AP+BP=λ（AQ+BQ）.设直线AP,BP,AQ.BQ的斜率分别为k1,k2,k3,k4.（1
(1)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1和双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的公共顶点为A(-a,0),B(a,0),
设P(asecu,btanu),Q(acosv,bsinv),u≠2kπ,v≠2kπ,k∈Z,
由AP+BP=λ（AQ+BQ）得
(asecu+a,btanu)+(asecu-a,btanu)=λ[(acosv+a,bsinv)+(acosv-a,bsinv)],
∴(asecu,btanu)=λ(acosv,bsinv),①
∴OP=λOQ,
∴O,P,Q三点共线.
（2）由①,secu/cosv=tanu/sinv,
∴tanv=sinu,③
AP的斜率k1=btanu/(asecu+a),
BP的斜率k2=btanu/(asecu-a),
k1+k2=(b/a)tanusecu/[(secu)^2-1]=(2b/a)tanusecu/(tanu)^2=2b/(asinu),
AQ的斜率k3=bsinv/(acosv+a),
BQ的斜率k4=bsinv/(acosv-a),
k3+k3=(2b/a)sinvcosv/[(cosv)^2-1]=-2bcosv/(asinv)=-2b/(asinu)(由③),
∴k1+k2+k3+k4=0.