在三棱锥S-ABC中,SA垂直平面ABC,AB垂直BC,DE垂直平分SC,SA=AB=a,BC=根号2a..（1）求证：SC垂直面BDE （2）求面BDE与面BDC所成二面角大小D在AC上，E在SC上

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 06:05:24

在三棱锥S-ABC中,SA垂直平面ABC,AB垂直BC,DE垂直平分SC,SA=AB=a,BC=根号2a..（1）求证：SC垂直面BDE （2）求面BDE与面BDC所成二面角大小D在AC上，E在SC上
在三棱锥S-ABC中,SA垂直平面ABC,AB垂直BC,DE垂直平分SC,SA=AB=a,BC=根号2a..
（1）求证：SC垂直面BDE （2）求面BDE与面BDC所成二面角大小
D在AC上，E在SC上

在三棱锥S-ABC中,SA垂直平面ABC,AB垂直BC,DE垂直平分SC,SA=AB=a,BC=根号2a..（1）求证：SC垂直面BDE （2）求面BDE与面BDC所成二面角大小D在AC上，E在SC上

1、∵DE是SC的垂直平分线,
∴DE⊥SC,
∵SA⊥平面ABC,AB、AC∈平面ABC,
∴SA⊥AB,
SA⊥AC,
∵SA=AB=a,
∴△SAB是等腰RT△,
∴SB=√2a,
∴SB=BC=√2a,
∵CB⊥AB,
∴根据三垂线定理,
BC⊥SB,
∴△BSC是等腰RT△,
∵E是SC的中点,
∴BE是△BSC中SC边上的高,
即BE⊥SC,
∵BE∩DE=E,
∴SC⊥平面BDE.
2、在平面SAC上作EF⊥AC,垂足F,在底面ABC上作FH⊥BD,垂足H,连结EH,
则EF是△CSA的中位线,F是AC的中点,
∴EF//SA,EF=SA/2,
∵SA⊥平面ABC,
∴EF⊥平面ABC,
∵FH⊥BD,
∴EH⊥BD,（三垂线定理）
∴〈EHF是二面角E-BD-C的平面角,
根据勾股定理,AC=√3a,SC=2a,
∵〈DEC=〈SAC=90°,
〈ECD=〈ACS,（公用角）,
∴RT△CED∽RT△CAS,
∴EC*SC=CD*AC,
a*2a=CD*√3a,
CD=2√3a/3,
DF=CD-CF=（2/3-1/2）*√3a=√3a/6,
cosA=√3/3,
在△ABD中,根据余弦定理,BD=√6a/3,
作△ABC斜边上的高BG,
BG=AB*BC/AC=√2a/√3=√6a/3,
FH*BD=DF*BG,(等面积原理）
FH=√3a/6,
EF=SA/2=a/2,
tan<EHF=EF/FH=(a/2)/(√3a/6)=√3,
∴〈EHF=60°,
∴平面BDE与平面BDC所成二面角大小为60度.

(1)证：因为SA=AB=a，SA⊥面ABC，所以，SAB为等腰Rt△，BS=(√2)a=BC，即△CBS为等腰△，SC为底，且E为底边中点，所以，BE⊥SC，而DE⊥SC，因此，SC⊥面BDE。
(2)由SA⊥面ABC，AB⊥BC及AB=a，BC=(√2)a，得AC=(√3)a，从而知SC=2a，且∠SCA=30度。DE⊥EC，DE=(√3)a/3，DC=2(√3)a/3。待续{我有急事...

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